Risolvi -3x^2+4x+4=0

$$-3 { x }^{ 2 } +4x+4=0$$

Trova x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -3x^{2}+ax+bx+4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=-3\times 4=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 4 come somma.

$$a=6 b=-2$$

Riscrivi -3x^{2}+4x+4 come \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$3x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+2=0 e 3x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-3x^{2}+4x+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -3 a a, 4 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica -4 per -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 12 per 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\left(-3\right)}$$

Aggiungi 16 a 48.

$$x=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\left(-3\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 64.

$$x=\frac{-4±8}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 2 per -3.

$$x=\frac{-4±8}{-6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±8}{-6} quando ± è più. Aggiungi -4 a 8.

$$x=\frac{4}{-6}$$

Riduci la frazione \frac{4}{-6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±8}{-6} quando ± è meno. Sottrai 8 da -4.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Dividi -12 per -6.

$$x=2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{2}{3} x=2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x+4=0$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-3x^{2}+4x+4-4=-4$$

Sottraendo 4 da se stesso rimane 0.

$$-3x^{2}+4x=-4$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

La divisione per -3 annulla la moltiplicazione per -3.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=-\frac{4}{-3}$$

Dividi 4 per -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{-3}$$

Dividi -4 per -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}$$

Dividi -\frac{4}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{2}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{2}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4}{3}+\frac{4}{9}$$

Aggiungi \frac{4}{3} a \frac{4}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{16}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{4}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$$

Aggiungi \frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=-\frac{2}{3}$$