Risolvi -y^2+6y+7=0

$$- y ^ { 2 } + 6 y + 7 = 0$$

Trova y

$$y=-1$$

$$y=7$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -y^{2}+ay+by+7. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=7 b=-1$$

Riscrivi -y^{2}+6y+7 come \left(-y^{2}+7y\right)+\left(-y+7\right).

$$\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-y+7\right)$$

Fattori in -y nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$-y\left(y-7\right)-\left(y-7\right)$$

Fattorizza il termine comune y-7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y-7\right)\left(-y-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-7=0 e -y-1=0.

$$y=7 y=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-y^{2}+6y+7=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 6 a b e 7 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 7.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 36 a 28.

$$y=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 64.

$$y=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$y=\frac{-6±8}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-6±8}{-2} quando ± è più. Aggiungi -6 a 8.

$$y=\frac{2}{-2}$$

Dividi 2 per -2.

$$y=-1$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-6±8}{-2} quando ± è meno. Sottrai 8 da -6.

$$y=-\frac{14}{-2}$$

Dividi -14 per -2.

$$y=7$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=-1 y=7$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+6y+7=0$$

Sottrai 7 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-y^{2}+6y+7-7=-7$$

Sottraendo 7 da se stesso rimane 0.

$$-y^{2}+6y=-7$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-y^{2}+6y}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$y^{2}+\frac{6}{-1}y=-\frac{7}{-1}$$

Dividi 6 per -1.

$$y^{2}-6y=-\frac{7}{-1}$$

Dividi -7 per -1.

$$y^{2}-6y=7$$

Dividi -6, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -3. Quindi aggiungi il quadrato di -3 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-6y+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$y^{2}-6y+9=7+9$$

Aggiungi 7 a 9.

$$y^{2}-6y+9=16$$

Fattore y^{2}-6y+9. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-3\right)^{2}=16$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Semplifica.

$$y-3=4 y-3=-4$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=7 y=-1$$