Risolvi -5z^2+z+12=0

$$- 5 z ^ { 2 } + z + 12 = 0$$

Trova z

$$z = \frac{\sqrt{241} + 1}{10} \approx 1,65241747$$

$$z=\frac{1-\sqrt{241}}{10}\approx -1,45241747$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-5z^{2}+z+12=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -5 a a, 1 a b e 12 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-5\right)\times 12}}{2\left(-5\right)}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-5\right)\times 12}}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica -4 per -5.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1+20\times 12}}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica 20 per 12.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1+240}}{2\left(-5\right)}$$

Aggiungi 1 a 240.

$$z=\frac{-1±\sqrt{241}}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica 2 per -5.

$$z=\frac{-1±\sqrt{241}}{-10}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-1±\sqrt{241}}{-10} quando ± è più. Aggiungi -1 a \sqrt{241}.

$$z=\frac{\sqrt{241}-1}{-10}$$

Dividi -1+\sqrt{241} per -10.

$$z=\frac{1-\sqrt{241}}{10}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-1±\sqrt{241}}{-10} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{241} da -1.

$$z=\frac{-\sqrt{241}-1}{-10}$$

Dividi -1-\sqrt{241} per -10.

$$z=\frac{\sqrt{241}+1}{10}$$

L'equazione è stata risolta.

$$z=\frac{1-\sqrt{241}}{10} z=\frac{\sqrt{241}+1}{10}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-5z^{2}+z+12=0$$

Sottrai 12 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-5z^{2}+z+12-12=-12$$

Sottraendo 12 da se stesso rimane 0.

$$-5z^{2}+z=-12$$

Dividi entrambi i lati per -5.

$$\frac{-5z^{2}+z}{-5}=-\frac{12}{-5}$$

La divisione per -5 annulla la moltiplicazione per -5.

$$z^{2}+\frac{1}{-5}z=-\frac{12}{-5}$$

Dividi 1 per -5.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z=-\frac{12}{-5}$$

Dividi -12 per -5.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z=\frac{12}{5}$$

Dividi -\frac{1}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z+\frac{1}{100}=\frac{12}{5}+\frac{1}{100}$$

Aggiungi \frac{12}{5} a \frac{1}{100} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z+\frac{1}{100}=\frac{241}{100}$$

Fattore z^{2}-\frac{1}{5}z+\frac{1}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{241}{100}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{241}{100}}$$

Semplifica.

$$z-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{241}}{10} z-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{241}}{10}$$

Aggiungi \frac{1}{10} a entrambi i lati dell'equazione.

$$z=\frac{\sqrt{241}+1}{10} z=\frac{1-\sqrt{241}}{10}$$