Risolvi -3r^2+90r=93

$$- 3 r ^ { 2 } + 90 r = 93$$

Trova r

$$r=\sqrt{194}+15\approx 28,928388277$$

$$r=15-\sqrt{194}\approx 1,071611723$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-3r^{2}+90r=93$$

Sottrai 93 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-3r^{2}+90r-93=93-93$$

Sottraendo 93 da se stesso rimane 0.

$$-3r^{2}+90r-93=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -3 a a, 90 a b e -93 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-3\right)\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva 90 al quadrato.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-3\right)\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica -4 per -3.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100+12\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 12 per -93.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100-1116}}{2\left(-3\right)}$$

Aggiungi 8100 a -1116.

$$r=\frac{-90±\sqrt{6984}}{2\left(-3\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 6984.

$$r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 2 per -3.

$$r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6} quando ± è più. Aggiungi -90 a 6\sqrt{194}.

$$r=\frac{6\sqrt{194}-90}{-6}$$

Dividi -90+6\sqrt{194} per -6.

$$r=15-\sqrt{194}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6} quando ± è meno. Sottrai 6\sqrt{194} da -90.

$$r=\frac{-6\sqrt{194}-90}{-6}$$

Dividi -90-6\sqrt{194} per -6.

$$r=\sqrt{194}+15$$

L'equazione è stata risolta.

$$r=15-\sqrt{194} r=\sqrt{194}+15$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-3r^{2}+90r=93$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$\frac{-3r^{2}+90r}{-3}=\frac{93}{-3}$$

La divisione per -3 annulla la moltiplicazione per -3.

$$r^{2}+\frac{90}{-3}r=\frac{93}{-3}$$

Dividi 90 per -3.

$$r^{2}-30r=\frac{93}{-3}$$

Dividi 93 per -3.

$$r^{2}-30r=-31$$

Dividi -30, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -15. Quindi aggiungi il quadrato di -15 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$r^{2}-30r+\left(-15\right)^{2}=-31+\left(-15\right)^{2}$$

Eleva -15 al quadrato.

$$r^{2}-30r+225=-31+225$$

Aggiungi -31 a 225.

$$r^{2}-30r+225=194$$

Fattore r^{2}-30r+225. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-15\right)^{2}=194$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(r-15\right)^{2}}=\sqrt{194}$$

Semplifica.

$$r-15=\sqrt{194} r-15=-\sqrt{194}$$

Aggiungi 15 a entrambi i lati dell'equazione.

$$r=\sqrt{194}+15 r=15-\sqrt{194}$$