Risolvi -16t^2+36t+7=0

$$- 16 t ^ { 2 } + 36 t + 7 = 0$$

Trova t

$$t = \frac{\sqrt{109} + 9}{8} \approx 2,430038314$$

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}\approx -0,180038314$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -16 a a, 36 a b e 7 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Eleva 36 al quadrato.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica -4 per -16.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+64\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica 64 per 7.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+448}}{2\left(-16\right)}$$

Aggiungi 1296 a 448.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1744}}{2\left(-16\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 1744.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica 2 per -16.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32} quando ± è più. Aggiungi -36 a 4\sqrt{109}.

$$t=\frac{4\sqrt{109}-36}{-32}$$

Dividi -36+4\sqrt{109} per -32.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32} quando ± è meno. Sottrai 4\sqrt{109} da -36.

$$t=\frac{-4\sqrt{109}-36}{-32}$$

Dividi -36-4\sqrt{109} per -32.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8} t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

Sottrai 7 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-16t^{2}+36t+7-7=-7$$

Sottraendo 7 da se stesso rimane 0.

$$-16t^{2}+36t=-7$$

Dividi entrambi i lati per -16.

$$\frac{-16t^{2}+36t}{-16}=-\frac{7}{-16}$$

La divisione per -16 annulla la moltiplicazione per -16.

$$t^{2}+\frac{36}{-16}t=-\frac{7}{-16}$$

Riduci la frazione \frac{36}{-16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=-\frac{7}{-16}$$

Dividi -7 per -16.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=\frac{7}{16}$$

Dividi -\frac{9}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{9}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{9}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{7}{16}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{9}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{7}{16}+\frac{81}{64}$$

Aggiungi \frac{7}{16} a \frac{81}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{109}{64}$$

Fattore t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{109}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{64}}$$

Semplifica.

$$t-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{109}}{8} t-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{109}}{8}$$

Aggiungi \frac{9}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8} t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$