Risolvi -14x^2+x+4=0

$$- 14 x ^ { 2 } + x + 4 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{4}{7}\approx 0,571428571$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -14x^{2}+ax+bx+4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=-14\times 4=-56$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=8 b=-7$$

Riscrivi -14x^{2}+x+4 come \left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)$$

Scomponi 2x in -14x^{2}+8x.

$$2x\left(-7x+4\right)-7x+4$$

Fattorizza il termine comune -7x+4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-7x+4\right)\left(2x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -7x+4=0 e 2x+1=0.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -14 a a, 1 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Moltiplica -4 per -14.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Moltiplica 56 per 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\left(-14\right)}$$

Aggiungi 1 a 224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\left(-14\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 225.

$$x=\frac{-1±15}{2\left(-14\right)}$$

Moltiplica 2 per -14.

$$x=\frac{-1±15}{-28}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±15}{-28} quando ± è più. Aggiungi -1 a 15.

$$x=\frac{14}{-28}$$

Riduci la frazione \frac{14}{-28} ai minimi termini estraendo e annullando 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±15}{-28} quando ± è meno. Sottrai 15 da -1.

$$x=-\frac{16}{-28}$$

Riduci la frazione \frac{-16}{-28} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{4}{7}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{4}{7}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-14x^{2}+x+4-4=-4$$

Sottraendo 4 da se stesso rimane 0.

$$-14x^{2}+x=-4$$

Dividi entrambi i lati per -14.

$$\frac{-14x^{2}+x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

La divisione per -14 annulla la moltiplicazione per -14.

$$x^{2}+\frac{1}{-14}x=-\frac{4}{-14}$$

Dividi 1 per -14.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{-14} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=\frac{2}{7}$$

Dividi -\frac{1}{14}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{28}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{28} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{28} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{2}{7}+\frac{1}{784}$$

Aggiungi \frac{2}{7} a \frac{1}{784} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{225}{784}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{225}{784}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{784}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{28}=\frac{15}{28} x-\frac{1}{28}=-\frac{15}{28}$$

Aggiungi \frac{1}{28} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$