Risolvi -y^2+5y-4=0

$$- { y }^{ 2 } +5y-4=0$$

Trova y

$$y=1$$

$$y=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -y^{2}+ay+by-4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=-\left(-4\right)=4$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 4.

$$1,4 2,2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+4=5 2+2=4$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=4 b=1$$

Riscrivi -y^{2}+5y-4 come \left(-y^{2}+4y\right)+\left(y-4\right).

$$\left(-y^{2}+4y\right)+\left(y-4\right)$$

Scomponi -y in -y^{2}+4y.

$$-y\left(y-4\right)+y-4$$

Fattorizza il termine comune y-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y-4\right)\left(-y+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-4=0 e -y+1=0.

$$y=4 y=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-y^{2}+5y-4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 5 a b e -4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per -4.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 25 a -16.

$$y=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 9.

$$y=\frac{-5±3}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$y=\frac{-5±3}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-5±3}{-2} quando ± è più. Aggiungi -5 a 3.

$$y=-\frac{2}{-2}$$

Dividi -2 per -2.

$$y=1$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-5±3}{-2} quando ± è meno. Sottrai 3 da -5.

$$y=-\frac{8}{-2}$$

Dividi -8 per -2.

$$y=4$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=1 y=4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+5y-4=0$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-y^{2}+5y-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Sottraendo -4 da se stesso rimane 0.

$$-y^{2}+5y=-\left(-4\right)$$

Sottrai -4 da 0.

$$-y^{2}+5y=4$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-y^{2}+5y}{-1}=\frac{4}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$y^{2}+\frac{5}{-1}y=\frac{4}{-1}$$

Dividi 5 per -1.

$$y^{2}-5y=\frac{4}{-1}$$

Dividi 4 per -1.

$$y^{2}-5y=-4$$

Dividi -5, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-5y+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}-5y+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Aggiungi -4 a \frac{25}{4}.

$$y^{2}-5y+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Fattore y^{2}-5y+\frac{25}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Semplifica.

$$y-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Aggiungi \frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=4 y=1$$