Risolvi (20-x)(100+20x)=2240

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14,152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0,847932652$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 20-x per 100+20x e combinare i termini simili.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Sottrai 2240 da entrambi i lati.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

Sottrai 2240 da 2000 per ottenere -240.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -20 a a, 300 a b e -240 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Eleva 300 al quadrato.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Moltiplica -4 per -20.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Moltiplica 80 per -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

Aggiungi 90000 a -19200.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 70800.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

Moltiplica 2 per -20.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} quando ± è più. Aggiungi -300 a 20\sqrt{177}.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Dividi -300+20\sqrt{177} per -40.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} quando ± è meno. Sottrai 20\sqrt{177} da -300.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Dividi -300-20\sqrt{177} per -40.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 20-x per 100+20x e combinare i termini simili.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Sottrai 2000 da entrambi i lati.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

Sottrai 2000 da 2240 per ottenere 240.

$$300x-20x^{2}=240$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-20x^{2}+300x=240$$

Dividi entrambi i lati per -20.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

La divisione per -20 annulla la moltiplicazione per -20.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

Dividi 300 per -20.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

Dividi 240 per -20.

$$x^{2}-15x=-12$$

Dividi -15, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{15}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{15}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{15}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

Aggiungi -12 a \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

Fattore x^{2}-15x+\frac{225}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Aggiungi \frac{15}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$