Risolvi (x-4)(3x+6)+(x-4)(12x+48)=0

$$( x - 4 ) ( 3 x + 6 ) + ( x - 4 ) ( 12 x + 48 ) = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{18}{5} = -3\frac{3}{5} = -3,6$$

$$x=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per 3x+6 e combinare i termini simili.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per 12x+48 e combinare i termini simili.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Combina 3x^{2} e 12x^{2} per ottenere 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Sottrai 192 da -24 per ottenere -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$5x^{2}-2x-72=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx-72. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-2 ab=5\left(-72\right)=-360$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -360.

$$1,-360 2,-180 3,-120 4,-90 5,-72 6,-60 8,-45 9,-40 10,-36 12,-30 15,-24 18,-20$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-360=-359 2-180=-178 3-120=-117 4-90=-86 5-72=-67 6-60=-54 8-45=-37 9-40=-31 10-36=-26 12-30=-18 15-24=-9 18-20=-2$$

La soluzione è la coppia che restituisce -2 come somma.

$$a=-20 b=18$$

Riscrivi 5x^{2}-2x-72 come \left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right).

$$\left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right)$$

Fattori in 5x nel primo e 18 nel secondo gruppo.

$$5x\left(x-4\right)+18\left(x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(5x+18\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e 5x+18=0.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per 3x+6 e combinare i termini simili.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per 12x+48 e combinare i termini simili.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Combina 3x^{2} e 12x^{2} per ottenere 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Sottrai 192 da -24 per ottenere -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 15 a a, -6 a b e -216 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Eleva -6 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Moltiplica -4 per 15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-60\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Moltiplica -60 per -216.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+12960}}{2\times 15}$$

Aggiungi 36 a 12960.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{12996}}{2\times 15}$$

Calcola la radice quadrata di 12996.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±114}{2\times 15}$$

L'opposto di -6 è 6.

$$x=\frac{6±114}{2\times 15}$$

Moltiplica 2 per 15.

$$x=\frac{6±114}{30}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{6±114}{30} quando ± è più. Aggiungi 6 a 114.

$$x=\frac{120}{30}$$

Dividi 120 per 30.

$$x=4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{6±114}{30} quando ± è meno. Sottrai 114 da 6.

$$x=-\frac{108}{30}$$

Riduci la frazione \frac{-108}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{18}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per 3x+6 e combinare i termini simili.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per 12x+48 e combinare i termini simili.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Combina 3x^{2} e 12x^{2} per ottenere 15x^{2}.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Sottrai 192 da -24 per ottenere -216.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Aggiungi 216 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$15x^{2}-6x=216$$

Dividi entrambi i lati per 15.

$$\frac{15x^{2}-6x}{15}=\frac{216}{15}$$

La divisione per 15 annulla la moltiplicazione per 15.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{15}\right)x=\frac{216}{15}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{15} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{216}{15}$$

Riduci la frazione \frac{216}{15} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{72}{5}$$

Dividi -\frac{2}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{72}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{72}{5}+\frac{1}{25}$$

Aggiungi \frac{72}{5} a \frac{1}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{361}{25}$$

Fattore x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{361}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{25}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{19}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{19}{5}$$

Aggiungi \frac{1}{5} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$