Risolvi (x+4)^3(x-2)+(x+4)^2(x-2)^2

$$( x + 4 ) ^ { 3 } ( x - 2 ) + ( x + 4 ) ^ { 2 } ( x - 2 ) ^ { 2 }$$

Calcola

$$2\left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} per espandere \left(x+4\right)^{3}.

$$\left(x^{3}+12x^{2}+48x+64\right)\left(x-2\right)+\left(x+4\right)^{2}\left(x-2\right)^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{3}+12x^{2}+48x+64 per x-2 e combinare i termini simili.

$$x^{4}+10x^{3}+24x^{2}-32x-128+\left(x+4\right)^{2}\left(x-2\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{4}+10x^{3}+24x^{2}-32x-128+\left(x^{2}+8x+16\right)\left(x-2\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{4}+10x^{3}+24x^{2}-32x-128+\left(x^{2}+8x+16\right)\left(x^{2}-4x+4\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}+8x+16 per x^{2}-4x+4 e combinare i termini simili.

$$x^{4}+10x^{3}+24x^{2}-32x-128+x^{4}+4x^{3}-12x^{2}-32x+64$$

Combina x^{4} e x^{4} per ottenere 2x^{4}.

$$2x^{4}+10x^{3}+24x^{2}-32x-128+4x^{3}-12x^{2}-32x+64$$

Combina 10x^{3} e 4x^{3} per ottenere 14x^{3}.

$$2x^{4}+14x^{3}+24x^{2}-32x-128-12x^{2}-32x+64$$

Combina 24x^{2} e -12x^{2} per ottenere 12x^{2}.

$$2x^{4}+14x^{3}+12x^{2}-32x-128-32x+64$$

Combina -32x e -32x per ottenere -64x.

$$2x^{4}+14x^{3}+12x^{2}-64x-128+64$$

E -128 e 64 per ottenere -64.

$$2x^{4}+14x^{3}+12x^{2}-64x-64$$

Espandi

$$2x^{4}+14x^{3}+12x^{2}-64x-64$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} per espandere \left(x+4\right)^{3}.

$$\left(x^{3}+12x^{2}+48x+64\right)\left(x-2\right)+\left(x+4\right)^{2}\left(x-2\right)^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{3}+12x^{2}+48x+64 per x-2 e combinare i termini simili.

$$x^{4}+10x^{3}+24x^{2}-32x-128+\left(x+4\right)^{2}\left(x-2\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{4}+10x^{3}+24x^{2}-32x-128+\left(x^{2}+8x+16\right)\left(x-2\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{4}+10x^{3}+24x^{2}-32x-128+\left(x^{2}+8x+16\right)\left(x^{2}-4x+4\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}+8x+16 per x^{2}-4x+4 e combinare i termini simili.

$$x^{4}+10x^{3}+24x^{2}-32x-128+x^{4}+4x^{3}-12x^{2}-32x+64$$

Combina x^{4} e x^{4} per ottenere 2x^{4}.

$$2x^{4}+10x^{3}+24x^{2}-32x-128+4x^{3}-12x^{2}-32x+64$$

Combina 10x^{3} e 4x^{3} per ottenere 14x^{3}.

$$2x^{4}+14x^{3}+24x^{2}-32x-128-12x^{2}-32x+64$$

Combina 24x^{2} e -12x^{2} per ottenere 12x^{2}.

$$2x^{4}+14x^{3}+12x^{2}-32x-128-32x+64$$

Combina -32x e -32x per ottenere -64x.

$$2x^{4}+14x^{3}+12x^{2}-64x-128+64$$

E -128 e 64 per ottenere -64.

$$2x^{4}+14x^{3}+12x^{2}-64x-64$$