Risolvi (5x+8)^2=36

$$( 5 x + 8 ) ^ { 2 } = 36$$

Trova x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x = -\frac{14}{5} = -2\frac{4}{5} = -2,8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(5x+8\right)^{2}.

$$25x^{2}+80x+64=36$$

Sottrai 36 da entrambi i lati.

$$25x^{2}+80x+64-36=0$$

Sottrai 36 da 64 per ottenere 28.

$$25x^{2}+80x+28=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 25x^{2}+ax+bx+28. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=80 ab=25\times 28=700$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 700.

$$1,700 2,350 4,175 5,140 7,100 10,70 14,50 20,35 25,28$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+700=701 2+350=352 4+175=179 5+140=145 7+100=107 10+70=80 14+50=64 20+35=55 25+28=53$$

La soluzione è la coppia che restituisce 80 come somma.

$$a=10 b=70$$

Riscrivi 25x^{2}+80x+28 come \left(25x^{2}+10x\right)+\left(70x+28\right).

$$\left(25x^{2}+10x\right)+\left(70x+28\right)$$

Fattori in 5x nel primo e 14 nel secondo gruppo.

$$5x\left(5x+2\right)+14\left(5x+2\right)$$

Fattorizza il termine comune 5x+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x+2\right)\left(5x+14\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x+2=0 e 5x+14=0.

$$x=-\frac{2}{5} x=-\frac{14}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(5x+8\right)^{2}.

$$25x^{2}+80x+64=36$$

Sottrai 36 da entrambi i lati.

$$25x^{2}+80x+64-36=0$$

Sottrai 36 da 64 per ottenere 28.

$$25x^{2}+80x+28=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 25 a a, 80 a b e 28 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\times 25\times 28}}{2\times 25}$$

Eleva 80 al quadrato.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\times 25\times 28}}{2\times 25}$$

Moltiplica -4 per 25.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-100\times 28}}{2\times 25}$$

Moltiplica -100 per 28.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-2800}}{2\times 25}$$

Aggiungi 6400 a -2800.

$$x=\frac{-80±\sqrt{3600}}{2\times 25}$$

Calcola la radice quadrata di 3600.

$$x=\frac{-80±60}{2\times 25}$$

Moltiplica 2 per 25.

$$x=\frac{-80±60}{50}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-80±60}{50} quando ± è più. Aggiungi -80 a 60.

$$x=-\frac{20}{50}$$

Riduci la frazione \frac{-20}{50} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-80±60}{50} quando ± è meno. Sottrai 60 da -80.

$$x=-\frac{140}{50}$$

Riduci la frazione \frac{-140}{50} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=-\frac{14}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{2}{5} x=-\frac{14}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(5x+8\right)^{2}.

$$25x^{2}+80x+64=36$$

Sottrai 64 da entrambi i lati.

$$25x^{2}+80x=36-64$$

Sottrai 64 da 36 per ottenere -28.

$$25x^{2}+80x=-28$$

Dividi entrambi i lati per 25.

$$\frac{25x^{2}+80x}{25}=-\frac{28}{25}$$

La divisione per 25 annulla la moltiplicazione per 25.

$$x^{2}+\frac{80}{25}x=-\frac{28}{25}$$

Riduci la frazione \frac{80}{25} ai minimi termini estraendo e annullando 5.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x=-\frac{28}{25}$$

Dividi \frac{16}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{8}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{8}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=-\frac{28}{25}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{8}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{-28+64}{25}$$

Aggiungi -\frac{28}{25} a \frac{64}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{36}{25}$$

Fattore x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{8}{5}=\frac{6}{5} x+\frac{8}{5}=-\frac{6}{5}$$

Sottrai \frac{8}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{2}{5} x=-\frac{14}{5}$$