Risolvi (4x+3)^2-(4x+3)=0

$$( 4 x + 3 ) ^ { 2 } - ( 4 x + 3 ) = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(4x+3\right)^{2}.

$$16x^{2}+24x+9-\left(4x+3\right)=0$$

Per trovare l'opposto di 4x+3, trova l'opposto di ogni termine.

$$16x^{2}+24x+9-4x-3=0$$

Combina 24x e -4x per ottenere 20x.

$$16x^{2}+20x+9-3=0$$

Sottrai 3 da 9 per ottenere 6.

$$16x^{2}+20x+6=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$8x^{2}+10x+3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 8x^{2}+ax+bx+3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=8\times 3=24$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=4 b=6$$

Riscrivi 8x^{2}+10x+3 come \left(8x^{2}+4x\right)+\left(6x+3\right).

$$\left(8x^{2}+4x\right)+\left(6x+3\right)$$

Fattori in 4x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$4x\left(2x+1\right)+3\left(2x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x+1=0 e 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(4x+3\right)^{2}.

$$16x^{2}+24x+9-\left(4x+3\right)=0$$

Per trovare l'opposto di 4x+3, trova l'opposto di ogni termine.

$$16x^{2}+24x+9-4x-3=0$$

Combina 24x e -4x per ottenere 20x.

$$16x^{2}+20x+9-3=0$$

Sottrai 3 da 9 per ottenere 6.

$$16x^{2}+20x+6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 16 a a, 20 a b e 6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 16\times 6}}{2\times 16}$$

Eleva 20 al quadrato.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 16\times 6}}{2\times 16}$$

Moltiplica -4 per 16.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-64\times 6}}{2\times 16}$$

Moltiplica -64 per 6.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\times 16}$$

Aggiungi 400 a -384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\times 16}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$x=\frac{-20±4}{2\times 16}$$

Moltiplica 2 per 16.

$$x=\frac{-20±4}{32}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-20±4}{32} quando ± è più. Aggiungi -20 a 4.

$$x=-\frac{16}{32}$$

Riduci la frazione \frac{-16}{32} ai minimi termini estraendo e annullando 16.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-20±4}{32} quando ± è meno. Sottrai 4 da -20.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Riduci la frazione \frac{-24}{32} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=-\frac{3}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(4x+3\right)^{2}.

$$16x^{2}+24x+9-\left(4x+3\right)=0$$

Per trovare l'opposto di 4x+3, trova l'opposto di ogni termine.

$$16x^{2}+24x+9-4x-3=0$$

Combina 24x e -4x per ottenere 20x.

$$16x^{2}+20x+9-3=0$$

Sottrai 3 da 9 per ottenere 6.

$$16x^{2}+20x+6=0$$

Sottrai 6 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$16x^{2}+20x=-6$$

Dividi entrambi i lati per 16.

$$\frac{16x^{2}+20x}{16}=-\frac{6}{16}$$

La divisione per 16 annulla la moltiplicazione per 16.

$$x^{2}+\frac{20}{16}x=-\frac{6}{16}$$

Riduci la frazione \frac{20}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=-\frac{6}{16}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=-\frac{3}{8}$$

Dividi \frac{5}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{3}{8}+\frac{25}{64}$$

Aggiungi -\frac{3}{8} a \frac{25}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{64}$$

Fattore x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{1}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{1}{8}$$

Sottrai \frac{5}{8} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$