Risolvi (3x+1)^2-5(x+1)(x-1)=8-x

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } - 5 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 8 - x$$

Trova x

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Aggiungi x a entrambi i lati.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5 per x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5x-5 per x-1 e combinare i termini simili.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Combina 9x^{2} e -5x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

E 1 e 5 per ottenere 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Sottrai 8 da 6 per ottenere -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Combina 6x e x per ottenere 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx-2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 7 come somma.

$$a=-1 b=8$$

Riscrivi 4x^{2}+7x-2 come \left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right).

$$\left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right)$$

Fattori in x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$x\left(4x-1\right)+2\left(4x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 4x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x-1\right)\left(x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 4x-1=0 e x+2=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Aggiungi x a entrambi i lati.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5 per x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5x-5 per x-1 e combinare i termini simili.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Combina 9x^{2} e -5x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

E 1 e 5 per ottenere 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Sottrai 8 da 6 per ottenere -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Combina 6x e x per ottenere 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 7 a b e -2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 7 al quadrato.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

Aggiungi 49 a 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-7±9}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±9}{8} quando ± è più. Aggiungi -7 a 9.

$$x=\frac{2}{8}$$

Riduci la frazione \frac{2}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±9}{8} quando ± è meno. Sottrai 9 da -7.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Dividi -16 per 8.

$$x=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Aggiungi x a entrambi i lati.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5 per x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5x-5 per x-1 e combinare i termini simili.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5+x=8$$

Combina 9x^{2} e -5x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5+x=8$$

E 1 e 5 per ottenere 6.

$$4x^{2}+6x+6+x=8$$

Combina 6x e x per ottenere 7x.

$$4x^{2}+7x+6=8$$

Sottrai 6 da entrambi i lati.

$$4x^{2}+7x=8-6$$

Sottrai 6 da 8 per ottenere 2.

$$4x^{2}+7x=2$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{2}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{2}{4}$$

Riduci la frazione \frac{2}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{2}$$

Dividi \frac{7}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{2}+\frac{49}{64}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a \frac{49}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{81}{64}$$

Fattore x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{9}{8}$$

Sottrai \frac{7}{8} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$