Risolvi (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Trova r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2,22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20,22497216$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

E 9 e 225 per ottenere 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Combina 6r e 30r per ottenere 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Combina r^{2} e r^{2} per ottenere 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Calcola 18 alla potenza di 2 e ottieni 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Sottrai 324 da entrambi i lati.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

Sottrai 324 da 234 per ottenere -90.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 36 a b e -90 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 36 al quadrato.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Aggiungi 1296 a 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 2016.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} quando ± è più. Aggiungi -36 a 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Dividi -36+12\sqrt{14} per 4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} quando ± è meno. Sottrai 12\sqrt{14} da -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Dividi -36-12\sqrt{14} per 4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

L'equazione è stata risolta.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

E 9 e 225 per ottenere 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Combina 6r e 30r per ottenere 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Combina r^{2} e r^{2} per ottenere 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Calcola 18 alla potenza di 2 e ottieni 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Sottrai 234 da entrambi i lati.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

Sottrai 234 da 324 per ottenere 90.

$$36r+2r^{2}=90$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+36r=90$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Dividi 36 per 2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Dividi 90 per 2.

$$r^{2}+18r=45$$

Dividi 18, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 9. Quindi aggiungi il quadrato di 9 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

Eleva 9 al quadrato.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Aggiungi 45 a 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Fattore r^{2}+18r+81. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Semplifica.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$