Risolvi (3+2y)^2+2y^2=3

$$( 3 + 2 y ) ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 3$$

Trova y

$$y=-1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Combina 4y^{2} e 2y^{2} per ottenere 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Sottrai 3 da entrambi i lati.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Sottrai 3 da 9 per ottenere 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$1+2y+y^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come y^{2}+ay+by+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=1\times 1=1$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=1 b=1$$

Riscrivi y^{2}+2y+1 come \left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right).

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right)$$

Scomponi y in y^{2}+y.

$$y\left(y+1\right)+y+1$$

Fattorizza il termine comune y+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y+1\right)\left(y+1\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(y+1\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi y+1=0.

$$y=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Combina 4y^{2} e 2y^{2} per ottenere 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Sottrai 3 da entrambi i lati.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Sottrai 3 da 9 per ottenere 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6y^{2}+12y+6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, 12 a b e 6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Eleva 12 al quadrato.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-24\times 6}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 6}$$

Aggiungi 144 a -144.

$$y=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$y=-\frac{12}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$y=-\frac{12}{12}$$

Dividi -12 per 12.

$$y=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Combina 4y^{2} e 2y^{2} per ottenere 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Sottrai 9 da entrambi i lati.

$$12y+6y^{2}=3-9$$

Sottrai 9 da 3 per ottenere -6.

$$12y+6y^{2}=-6$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+12y=-6$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6y^{2}+12y}{6}=-\frac{6}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$y^{2}+\frac{12}{6}y=-\frac{6}{6}$$

Dividi 12 per 6.

$$y^{2}+2y=-\frac{6}{6}$$

Dividi -6 per 6.

$$y^{2}+2y=-1$$

Dividi 2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 1. Quindi aggiungi il quadrato di 1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}+2y+1^{2}=-1+1^{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$y^{2}+2y+1=-1+1$$

Aggiungi -1 a 1.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Fattore y^{2}+2y+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$y+1=0 y+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=-1 y=-1$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$y=-1$$