Risolvi (2x+5)^2=(x+2)^2

$$( 2 x + 5 ) ^ { 2 } = ( x + 2 ) ^ { 2 }$$

Trova x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=-3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Combina 20x e -4x per ottenere 16x.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Sottrai 4 da entrambi i lati.

$$3x^{2}+16x+25-4=0$$

Sottrai 4 da 25 per ottenere 21.

$$3x^{2}+16x+21=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx+21. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=16 ab=3\times 21=63$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 63.

$$1,63 3,21 7,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+63=64 3+21=24 7+9=16$$

La soluzione è la coppia che restituisce 16 come somma.

$$a=7 b=9$$

Riscrivi 3x^{2}+16x+21 come \left(3x^{2}+7x\right)+\left(9x+21\right).

$$\left(3x^{2}+7x\right)+\left(9x+21\right)$$

Fattori in x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$x\left(3x+7\right)+3\left(3x+7\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x+7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x+7\right)\left(x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x+7=0 e x+3=0.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Combina 20x e -4x per ottenere 16x.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Sottrai 4 da entrambi i lati.

$$3x^{2}+16x+25-4=0$$

Sottrai 4 da 25 per ottenere 21.

$$3x^{2}+16x+21=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 16 a b e 21 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 21}}{2\times 3}$$

Eleva 16 al quadrato.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 21}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 21}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 21.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-252}}{2\times 3}$$

Aggiungi 256 a -252.

$$x=\frac{-16±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$x=\frac{-16±2}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-16±2}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-16±2}{6} quando ± è più. Aggiungi -16 a 2.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-14}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-16±2}{6} quando ± è meno. Sottrai 2 da -16.

$$x=-\frac{18}{6}$$

Dividi -18 per 6.

$$x=-3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Combina 20x e -4x per ottenere 16x.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Sottrai 25 da entrambi i lati.

$$3x^{2}+16x=4-25$$

Sottrai 25 da 4 per ottenere -21.

$$3x^{2}+16x=-21$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=-\frac{21}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-\frac{21}{3}$$

Dividi -21 per 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-7$$

Dividi \frac{16}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{8}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{8}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=-7+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{8}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-7+\frac{64}{9}$$

Aggiungi -7 a \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{1}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{1}{3}$$

Sottrai \frac{8}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$