Risolvi (1)(3x+2)^2=16

$$( 1 ) ( 3 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Trova x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$x=-2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 1.

$$\left(3x+2\right)^{2}=16$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3x+2\right)^{2}.

$$9x^{2}+12x+4=16$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+12x+4-16=0$$

Sottrai 16 da 4 per ottenere -12.

$$9x^{2}+12x-12=0$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$3x^{2}+4x-4=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 4 come somma.

$$a=-2 b=6$$

Riscrivi 3x^{2}+4x-4 come \left(3x^{2}-2x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(6x-4\right)$$

Fattori in x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-2\right)\left(x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-2=0 e x+2=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Dividi entrambi i lati per 1.

$$\left(3x+2\right)^{2}=16$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3x+2\right)^{2}.

$$9x^{2}+12x+4=16$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+12x+4-16=0$$

Sottrai 16 da 4 per ottenere -12.

$$9x^{2}+12x-12=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, 12 a b e -12 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\left(-12\right)}}{2\times 9}$$

Eleva 12 al quadrato.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\left(-12\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-36\left(-12\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per -12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+432}}{2\times 9}$$

Aggiungi 144 a 432.

$$x=\frac{-12±\sqrt{576}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 576.

$$x=\frac{-12±24}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{-12±24}{18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-12±24}{18} quando ± è più. Aggiungi -12 a 24.

$$x=\frac{12}{18}$$

Riduci la frazione \frac{12}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-12±24}{18} quando ± è meno. Sottrai 24 da -12.

$$x=-\frac{36}{18}$$

Dividi -36 per 18.

$$x=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{2}{3} x=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Dividi entrambi i lati per 1.

$$\left(3x+2\right)^{2}=16$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3x+2\right)^{2}.

$$9x^{2}+12x+4=16$$

Sottrai 4 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+12x=16-4$$

Sottrai 4 da 16 per ottenere 12.

$$9x^{2}+12x=12$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}+12x}{9}=\frac{12}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}+\frac{12}{9}x=\frac{12}{9}$$

Riduci la frazione \frac{12}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{12}{9}$$

Riduci la frazione \frac{12}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}$$

Dividi \frac{4}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{2}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{2}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4}{3}+\frac{4}{9}$$

Aggiungi \frac{4}{3} a \frac{4}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{16}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$$

Sottrai \frac{2}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{2}{3} x=-2$$