Risolvi y^2+y-30=0

$${ y }^{ 2 } +y-30 = 0$$

Trova y

$$y=-6$$

$$y=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore y^{2}+y-30 utilizzando la formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-5 b=6$$

Riscrivi scomposte espressione \left(y+a\right)\left(y+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(y-5\right)\left(y+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-5=0 e y+6=0.

$$y=5 y=-6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come y^{2}+ay+by-30. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-5 b=6$$

Riscrivi y^{2}+y-30 come \left(y^{2}-5y\right)+\left(6y-30\right).

$$\left(y^{2}-5y\right)+\left(6y-30\right)$$

Fattori in y nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$y\left(y-5\right)+6\left(y-5\right)$$

Fattorizza il termine comune y-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y-5\right)\left(y+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-5=0 e y+6=0.

$$y=5 y=-6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$y^{2}+y-30=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 1 a b e -30 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-30\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -30.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2}$$

Aggiungi 1 a 120.

$$y=\frac{-1±\sqrt{121}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$y=\frac{-1±11}{2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-1±11}{2} quando ± è più. Aggiungi -1 a 11.

$$y=\frac{10}{2}$$

Dividi 10 per 2.

$$y=5$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-1±11}{2} quando ± è meno. Sottrai 11 da -1.

$$y=-\frac{12}{2}$$

Dividi -12 per 2.

$$y=-6$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=5 y=-6$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+y-30=0$$

Aggiungi 30 a entrambi i lati dell'equazione.

$$y^{2}+y-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Sottraendo -30 da se stesso rimane 0.

$$y^{2}+y=-\left(-30\right)$$

Sottrai -30 da 0.

$$y^{2}+y=30$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}+y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 30 a \frac{1}{4}.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Fattore y^{2}+y+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Semplifica.

$$y+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} y+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=5 y=-6$$