Risolvi left(x+1right)^2+left(x+2right)^2=x+12

$${ \left(x+1 \right) }^{ 2 } + { \left(x+2 \right) }^{ 2 } =x+12$$

Trova x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Combina 2x e 4x per ottenere 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

E 1 e 4 per ottenere 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Combina 6x e -x per ottenere 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Sottrai 12 da entrambi i lati.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Sottrai 12 da 5 per ottenere -7.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-7. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -14.

$$-1,14 -2,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=-2 b=7$$

Riscrivi 2x^{2}+5x-7 come \left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$2x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 2x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Combina 2x e 4x per ottenere 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

E 1 e 4 per ottenere 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Combina 6x e -x per ottenere 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Sottrai 12 da entrambi i lati.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Sottrai 12 da 5 per ottenere -7.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 5 a b e -7 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Aggiungi 25 a 56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 81.

$$x=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-5±9}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±9}{4} quando ± è più. Aggiungi -5 a 9.

$$x=\frac{4}{4}$$

Dividi 4 per 4.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±9}{4} quando ± è meno. Sottrai 9 da -5.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-14}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Combina 2x e 4x per ottenere 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

E 1 e 4 per ottenere 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Combina 6x e -x per ottenere 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Sottrai 5 da entrambi i lati.

$$2x^{2}+5x=12-5$$

Sottrai 5 da 12 per ottenere 7.

$$2x^{2}+5x=7$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{7}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

Dividi \frac{5}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Aggiungi \frac{7}{2} a \frac{25}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Sottrai \frac{5}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$