Risolvi sqrt{2x+3x^2}=2x^2

$$\sqrt{ 2x+3 { x }^{ 2 } } =2 { x }^{ 2 }$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}}}{2} \approx 1,097911673$$

$$x=0$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{2x+3x^{2}}\right)^{2}=\left(2x^{2}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{2x+3x^{2}} alla potenza di 2 e ottieni 2x+3x^{2}.

$$2x+3x^{2}=\left(2x^{2}\right)^{2}$$

Espandi \left(2x^{2}\right)^{2}.

$$2x+3x^{2}=2^{2}\left(x^{2}\right)^{2}$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$2x+3x^{2}=2^{2}x^{4}$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$2x+3x^{2}=4x^{4}$$

Sottrai 4x^{4} da entrambi i lati.

$$2x+3x^{2}-4x^{4}=0$$

Sostituisci t per x^{2}.

$$-4t^{2}+3t+2=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci -4 con a, 3 con b e 2 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{-4\times 2}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=\frac{3-\sqrt{41}}{8} t=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Poiché x=t^{2}, le soluzioni vengono ottenute valutando x=±\sqrt{t} per t positivo.

$$x=\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} x=-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}$$

Sostituisci \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} a x nell'equazione \sqrt{2x+3x^{2}}=2x^{2}.

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}+3\times \left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}}=2\times \left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}$$

Semplifica. Il valore x=\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} non soddisfa l'equazione.

$$\frac{1}{2}\left(2\times 2^{\frac{1}{2}}\left(41^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}$$

Sostituisci -\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} a x nell'equazione \sqrt{2x+3x^{2}}=2x^{2}.

$$\sqrt{2\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)+3\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}}=2\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}$$

Semplifica. Il valore x=-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} non soddisfa l'equazione.

$$\frac{1}{2}\left(-2\times 2^{\frac{1}{2}}\left(41^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}$$

Non è disponibile alcuna soluzione \sqrt{3x^{2}+2x}=2x^{2} per l'equazione.

$$x\in \emptyset$$