Risolvi sqrt{x^2+4}+sqrt{left(12-xright)^2+9}=13

$$\sqrt{ { x }^{ 2 } +4 } + \sqrt{ { \left(12-x \right) }^{ 2 } +9 } =13$$

Trova x

$$x = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4,8$$

Procedura della soluzione

Sottrai \sqrt{\left(12-x\right)^{2}+9} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{x^{2}+4}=13-\sqrt{\left(12-x\right)^{2}+9}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(12-x\right)^{2}.

$$\sqrt{x^{2}+4}=13-\sqrt{144-24x+x^{2}+9}$$

E 144 e 9 per ottenere 153.

$$\sqrt{x^{2}+4}=13-\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{x^{2}+4}\right)^{2}=\left(13-\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x^{2}+4} alla potenza di 2 e ottieni x^{2}+4.

$$x^{2}+4=\left(13-\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(13-\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}.

$$x^{2}+4=169-26\sqrt{153-24x+x^{2}}+\left(\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{153-24x+x^{2}} alla potenza di 2 e ottieni 153-24x+x^{2}.

$$x^{2}+4=169-26\sqrt{153-24x+x^{2}}+153-24x+x^{2}$$

E 169 e 153 per ottenere 322.

$$x^{2}+4=322-26\sqrt{153-24x+x^{2}}-24x+x^{2}$$

Sottrai 322-24x+x^{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+4-\left(322-24x+x^{2}\right)=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Per trovare l'opposto di 322-24x+x^{2}, trova l'opposto di ogni termine.

$$x^{2}+4-322+24x-x^{2}=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Sottrai 322 da 4 per ottenere -318.

$$x^{2}-318+24x-x^{2}=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Combina x^{2} e -x^{2} per ottenere 0.

$$-318+24x=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(-318+24x\right)^{2}=\left(-26\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(-318+24x\right)^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=\left(-26\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Espandi \left(-26\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=\left(-26\right)^{2}\left(\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcola -26 alla potenza di 2 e ottieni 676.

$$101124-15264x+576x^{2}=676\left(\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{153-24x+x^{2}} alla potenza di 2 e ottieni 153-24x+x^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=676\left(153-24x+x^{2}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 676 per 153-24x+x^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=103428-16224x+676x^{2}$$

Sottrai 103428 da entrambi i lati.

$$101124-15264x+576x^{2}-103428=-16224x+676x^{2}$$

Sottrai 103428 da 101124 per ottenere -2304.

$$-2304-15264x+576x^{2}=-16224x+676x^{2}$$

Aggiungi 16224x a entrambi i lati.

$$-2304-15264x+576x^{2}+16224x=676x^{2}$$

Combina -15264x e 16224x per ottenere 960x.

$$-2304+960x+576x^{2}=676x^{2}$$

Sottrai 676x^{2} da entrambi i lati.

$$-2304+960x+576x^{2}-676x^{2}=0$$

Combina 576x^{2} e -676x^{2} per ottenere -100x^{2}.

$$-2304+960x-100x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-100x^{2}+960x-2304=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -100 a a, 960 a b e -2304 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-960±\sqrt{960^{2}-4\left(-100\right)\left(-2304\right)}}{2\left(-100\right)}$$

Eleva 960 al quadrato.

$$x=\frac{-960±\sqrt{921600-4\left(-100\right)\left(-2304\right)}}{2\left(-100\right)}$$

Moltiplica -4 per -100.

$$x=\frac{-960±\sqrt{921600+400\left(-2304\right)}}{2\left(-100\right)}$$

Moltiplica 400 per -2304.

$$x=\frac{-960±\sqrt{921600-921600}}{2\left(-100\right)}$$

Aggiungi 921600 a -921600.

$$x=\frac{-960±\sqrt{0}}{2\left(-100\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{960}{2\left(-100\right)}$$

Moltiplica 2 per -100.

$$x=-\frac{960}{-200}$$

Riduci la frazione \frac{-960}{-200} ai minimi termini estraendo e annullando 40.

$$x=\frac{24}{5}$$

Sostituisci \frac{24}{5} a x nell'equazione \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{\left(12-x\right)^{2}+9}=13.

$$\sqrt{\left(\frac{24}{5}\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(12-\frac{24}{5}\right)^{2}+9}=13$$

Semplifica. Il valore x=\frac{24}{5} soddisfa l'equazione.

$$13=13$$

L'equazione \sqrt{x^{2}+4}=-\sqrt{x^{2}-24x+153}+13 ha una soluzione univoca.

$$x=\frac{24}{5}$$