Risolvi sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

Trova x

$$x=9$$

Procedura della soluzione

Sottrai -\sqrt{13-x} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x+7} alla potenza di 2 e ottieni x+7.

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{13-x} alla potenza di 2 e ottieni 13-x.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

E 4 e 13 per ottenere 17.

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

Sottrai 17-x da entrambi i lati dell'equazione.

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

Per trovare l'opposto di 17-x, trova l'opposto di ogni termine.

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

Sottrai 17 da 7 per ottenere -10.

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

Combina x e x per ottenere 2x.

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-10\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Espandi \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calcola 4 alla potenza di 2 e ottieni 16.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{13-x} alla potenza di 2 e ottieni 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 16 per 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

Sottrai 208 da entrambi i lati.

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

Sottrai 208 da 100 per ottenere -108.

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

Aggiungi 16x a entrambi i lati.

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

Combina -40x e 16x per ottenere -24x.

$$4x^{2}-24x-108=0$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-27. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -27.

$$1,-27 3,-9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

La soluzione è la coppia che restituisce -6 come somma.

$$a=-9 b=3$$

Riscrivi x^{2}-6x-27 come \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

Fattori in x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Fattorizza il termine comune x-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-9=0 e x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Sostituisci 9 a x nell'equazione \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Semplifica. Il valore x=9 soddisfa l'equazione.

$$2=2$$

Sostituisci -3 a x nell'equazione \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

Semplifica. Il valore x=-3 non soddisfa l'equazione. il lato sinistro e quello giusto hanno segni opposti.

$$-2=2$$

Sostituisci 9 a x nell'equazione \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Semplifica. Il valore x=9 soddisfa l'equazione.

$$2=2$$

L'equazione \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 ha una soluzione univoca.

$$x=9$$