Risolvi sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Trova x

$$x=5$$

$$x=1$$

Procedura della soluzione

Sottrai -\sqrt{2x-1} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{3x+1} alla potenza di 2 e ottieni 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{2x-1} alla potenza di 2 e ottieni 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Sottrai 1 da 1 per ottenere 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Sottrai 2x da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Combina 3x e -2x per ottenere x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Espandi \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{2x-1} alla potenza di 2 e ottieni 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Sottrai 8x da entrambi i lati.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Combina 2x e -8x per ottenere -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

E 1 e 4 per ottenere 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-6x+5 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-6 ab=5$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-5 b=-1$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-5=0 e x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Sostituisci 5 a x nell'equazione \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Semplifica. Il valore x=5 soddisfa l'equazione.

$$1=1$$

Sostituisci 1 a x nell'equazione \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Semplifica. Il valore x=1 soddisfa l'equazione.

$$1=1$$

Elenca tutte le soluzioni di \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$