Risolvi ∫ (from 3 to 5) of (4x^3-6x^2+5x+3) wrt x

$$\int _ { 3 } ^ { 5 } ( 4 x ^ { 3 } - 6 x ^ { 2 } + 5 x + 3 ) d x$$

Calcola

$$394$$

Procedura della soluzione

Valuta prima l'integrale indefinito.

$$\int 4x^{3}-6x^{2}+5x+3\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int 4x^{3}\mathrm{d}x+\int -6x^{2}\mathrm{d}x+\int 5x\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$4\int x^{3}\mathrm{d}x-6\int x^{2}\mathrm{d}x+5\int x\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{3}\mathrm{d}x con \frac{x^{4}}{4}. Moltiplica 4 per \frac{x^{4}}{4}.

$$x^{4}-6\int x^{2}\mathrm{d}x+5\int x\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{2}\mathrm{d}x con \frac{x^{3}}{3}. Moltiplica -6 per \frac{x^{3}}{3}.

$$x^{4}-2x^{3}+5\int x\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}. Moltiplica 5 per \frac{x^{2}}{2}.

$$x^{4}-2x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}+\int 3\mathrm{d}x$$

Trova il integrale di 3 che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x^{4}-2x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}+3x$$

L'integrale definito corrisponde all'antiderivata di un'espressione calcolata nell'estremo superiore di integrazione meno l'antiderivata calcolata nell'estremo inferiore di integrazione.

$$5^{4}-2\times 5^{3}+\frac{5}{2}\times 5^{2}+3\times 5-\left(3^{4}-2\times 3^{3}+\frac{5}{2}\times 3^{2}+3\times 3\right)$$

Semplifica.

$$394$$