Risolvi ∫ (4x)(x^2+5)^3 wrt x

$$\int ( 4 x ) ( x ^ { 2 } + 5 ) ^ { 3 } d x$$

Calcola

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+75x^{4}+250x^{2}+С$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} per espandere \left(x^{2}+5\right)^{3}.

$$\int 4x\left(\left(x^{2}\right)^{3}+15\left(x^{2}\right)^{2}+75x^{2}+125\right)\mathrm{d}x$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 3 per ottenere 6.

$$\int 4x\left(x^{6}+15\left(x^{2}\right)^{2}+75x^{2}+125\right)\mathrm{d}x$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$\int 4x\left(x^{6}+15x^{4}+75x^{2}+125\right)\mathrm{d}x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4x per x^{6}+15x^{4}+75x^{2}+125.

$$\int 4x^{7}+60x^{5}+300x^{3}+500x\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int 4x^{7}\mathrm{d}x+\int 60x^{5}\mathrm{d}x+\int 300x^{3}\mathrm{d}x+\int 500x\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$4\int x^{7}\mathrm{d}x+60\int x^{5}\mathrm{d}x+300\int x^{3}\mathrm{d}x+500\int x\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{7}\mathrm{d}x con \frac{x^{8}}{8}. Moltiplica 4 per \frac{x^{8}}{8}.

$$\frac{x^{8}}{2}+60\int x^{5}\mathrm{d}x+300\int x^{3}\mathrm{d}x+500\int x\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{5}\mathrm{d}x con \frac{x^{6}}{6}. Moltiplica 60 per \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+300\int x^{3}\mathrm{d}x+500\int x\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{3}\mathrm{d}x con \frac{x^{4}}{4}. Moltiplica 300 per \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+75x^{4}+500\int x\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}. Moltiplica 500 per \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+75x^{4}+250x^{2}$$

Se F\left(x\right) è un antiderivata di f\left(x\right), il set di tutte le antiderivatives f\left(x\right) viene specificato da F\left(x\right)+C. Pertanto, aggiungere la costante di integrazione C\in \mathrm{R} al risultato.

$$250x^{2}+75x^{4}+10x^{6}+\frac{x^{8}}{2}+С$$

Differenzia rispetto a x

$$4x\left(x^{2}+5\right)^{3}$$