Risolvi ∫ x^3+1/x+1 wrt x

$$\int \frac { x ^ { 3 } + 1 } { x + 1 } d x$$

Calcola

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x+С$$

Procedura della soluzione

Scomponi in fattori le espressioni che non sono già scomposte in "\frac{x^{3}+1}{x+1}".

$$\int \frac{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}{x+1}\mathrm{d}x$$

Cancella x+1 nel numeratore e nel denominatore.

$$\int x^{2}-x+1\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{2}\mathrm{d}x con \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}. Moltiplica -1 per \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Trova il integrale di 1 che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x$$

Semplifica.

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Se F\left(x\right) è un antiderivata di f\left(x\right), il set di tutte le antiderivatives f\left(x\right) viene specificato da F\left(x\right)+C. Pertanto, aggiungere la costante di integrazione C\in \mathrm{R} al risultato.

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Differenzia rispetto a x

$$x^{2}-x+1$$