Risolvi ∫ [x+1)^{2}-4x]^2-2a(2a+1)^2-(x^2-2x)^2=

$$\int [ x + 1 ) ^ { 2 } - 4 x ] ^ { 2 } - 2 a ( 2 a + 1 ) ^ { 2 } - ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } =$$

Calcola

$$\frac{\left(x+1\right)^{3}}{3}-2x^{2}+С$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$\int x^{2}+2x+1-4x\mathrm{d}x$$

Combina 2x e -4x per ottenere -2x.

$$\int x^{2}-2x+1\mathrm{d}x$$

Integra la somma termine per termine.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Fattorizza la costante in ogni termine.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x^{2}\mathrm{d}x con \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Poiché \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} per k\neq -1, Sostituisci \int x\mathrm{d}x con \frac{x^{2}}{2}. Moltiplica -2 per \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Trova il integrale di 1 che utilizza la tabella di regole di integrali più comuni \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x$$

Se F\left(x\right) è un antiderivata di f\left(x\right), il set di tutte le antiderivatives f\left(x\right) viene specificato da F\left(x\right)+C. Pertanto, aggiungere la costante di integrazione C\in \mathrm{R} al risultato.

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x+С$$

Differenzia rispetto a x

$$\left(x-1\right)^{2}$$