Risolvi 5x+1/x+2+x-1/x=2

$$\frac{ 5x+1 }{ x+2 } + \frac{ x-1 }{ x } =2$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per x-1 e combinare i termini simili.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina 5x^{2} e x^{2} per ottenere 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina x e x per ottenere 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Combina 6x^{2} e -2x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Combina 2x e -4x per ottenere -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-2 b=1$$

Riscrivi 2x^{2}-x-1 come \left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right)$$

Scomponi 2x in 2x^{2}-2x.

$$2x\left(x-1\right)+x-1$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 2x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per x-1 e combinare i termini simili.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina 5x^{2} e x^{2} per ottenere 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina x e x per ottenere 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Combina 6x^{2} e -2x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Combina 2x e -4x per ottenere -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -2 a b e -2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+32}}{2\times 4}$$

Aggiungi 4 a 32.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{36}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6}{2\times 4}$$

L'opposto di -2 è 2.

$$x=\frac{2±6}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{2±6}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±6}{8} quando ± è più. Aggiungi 2 a 6.

$$x=\frac{8}{8}$$

Dividi 8 per 8.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±6}{8} quando ± è meno. Sottrai 6 da 2.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per x-1 e combinare i termini simili.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina 5x^{2} e x^{2} per ottenere 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Combina x e x per ottenere 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Sottrai 2x^{2} da entrambi i lati.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Combina 6x^{2} e -2x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Combina 2x e -4x per ottenere -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$4x^{2}-2x=2$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{2}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{2}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{2}{4}$$

Riduci la frazione \frac{2}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Dividi -\frac{1}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a \frac{1}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Aggiungi \frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$