Risolvi 2/x+1/x+1

$$\frac{ 2 }{ x } + \frac{ 1 }{ x+1 }$$

Calcola

$$\frac{3x+2}{x\left(x+1\right)}$$

Soluzione con pochi passaggi

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di x e x+1 è x\left(x+1\right). Moltiplica \frac{2}{x} per \frac{x+1}{x+1}. Moltiplica \frac{1}{x+1} per \frac{x}{x}.

$$\frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{x\left(x+1\right)}$$

Poiché \frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)} e \frac{x}{x\left(x+1\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{2\left(x+1\right)+x}{x\left(x+1\right)}$$

Esegui le moltiplicazioni in 2\left(x+1\right)+x.

$$\frac{2x+2+x}{x\left(x+1\right)}$$

Unisci i termini come in 2x+2+x.

$$\frac{3x+2}{x\left(x+1\right)}$$

Espandi x\left(x+1\right).

$$\frac{3x+2}{x^{2}+x}$$

Differenzia rispetto a x

$$-\frac{3x^{2}+4x+2}{\left(x\left(x+1\right)\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di x e x+1 è x\left(x+1\right). Moltiplica \frac{2}{x} per \frac{x+1}{x+1}. Moltiplica \frac{1}{x+1} per \frac{x}{x}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{x\left(x+1\right)})$$

Poiché \frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)} e \frac{x}{x\left(x+1\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(x+1\right)+x}{x\left(x+1\right)})$$

Esegui le moltiplicazioni in 2\left(x+1\right)+x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+2+x}{x\left(x+1\right)})$$

Unisci i termini come in 2x+2+x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x+2}{x\left(x+1\right)})$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x+2}{x^{2}+x})$$

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x^{1}+2)-\left(3x^{1}+2\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+x^{1})}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}\right)\times 3x^{1-1}-\left(3x^{1}+2\right)\left(2x^{2-1}+x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}\right)\times 3x^{0}-\left(3x^{1}+2\right)\left(2x^{1}+x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Moltiplica x^{2}+x^{1} per 3x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 3x^{0}+x^{1}\times 3x^{0}-\left(3x^{1}+2\right)\left(2x^{1}+x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Moltiplica 3x^{1}+2 per 2x^{1}+x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 3x^{0}+x^{1}\times 3x^{0}-\left(3x^{1}\times 2x^{1}+3x^{1}x^{0}+2\times 2x^{1}+2x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{3x^{2}+3x^{1}-\left(3\times 2x^{1+1}+3x^{1}+2\times 2x^{1}+2x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{3x^{2}+3x^{1}-\left(6x^{2}+3x^{1}+4x^{1}+2x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{-3x^{2}-4x^{1}-2x^{0}}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\frac{-3x^{2}-4x-2x^{0}}{\left(x^{2}+x\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t tranne 0, t^{0}=1.

$$\frac{-3x^{2}-4x-2}{\left(x^{2}+x\right)^{2}}$$