Risolvi x-17/x^2+2=-6

$$\frac { x - 17 } { x ^ { 2 } + 2 } = - 6$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x^{2}+2.

$$x-17=-6\left(x^{2}+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -6 per x^{2}+2.

$$x-17=-6x^{2}-12$$

Aggiungi 6x^{2} a entrambi i lati.

$$x-17+6x^{2}=-12$$

Aggiungi 12 a entrambi i lati.

$$x-17+6x^{2}+12=0$$

E -17 e 12 per ottenere -5.

$$x-5+6x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx-5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-5 b=6$$

Riscrivi 6x^{2}+x-5 come \left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right)$$

Scomponi x in 6x^{2}-5x.

$$x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Fattorizza il termine comune 6x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(6x-5\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 6x-5=0 e x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x^{2}+2.

$$x-17=-6\left(x^{2}+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -6 per x^{2}+2.

$$x-17=-6x^{2}-12$$

Aggiungi 6x^{2} a entrambi i lati.

$$x-17+6x^{2}=-12$$

Aggiungi 12 a entrambi i lati.

$$x-17+6x^{2}+12=0$$

E -17 e 12 per ottenere -5.

$$x-5+6x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, 1 a b e -5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\times 6}$$

Aggiungi 1 a 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$x=\frac{-1±11}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{-1±11}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±11}{12} quando ± è più. Aggiungi -1 a 11.

$$x=\frac{10}{12}$$

Riduci la frazione \frac{10}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{5}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±11}{12} quando ± è meno. Sottrai 11 da -1.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Dividi -12 per 12.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x^{2}+2.

$$x-17=-6\left(x^{2}+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -6 per x^{2}+2.

$$x-17=-6x^{2}-12$$

Aggiungi 6x^{2} a entrambi i lati.

$$x-17+6x^{2}=-12$$

Aggiungi 17 a entrambi i lati.

$$x+6x^{2}=-12+17$$

E -12 e 17 per ottenere 5.

$$x+6x^{2}=5$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+x=5$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}+x}{6}=\frac{5}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x=\frac{5}{6}$$

Dividi \frac{1}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{6}+\frac{1}{144}$$

Aggiungi \frac{5}{6} a \frac{1}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{121}{144}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{12}=\frac{11}{12} x+\frac{1}{12}=-\frac{11}{12}$$

Sottrai \frac{1}{12} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$