Risolvi x^3-1/(x-1)^2-x^3+1/(x+1)^2=6

$$\frac { x ^ { 3 } - 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 3 } + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 6$$

Trova x

$$x=2$$

$$x=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,1 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}, il minimo comune multiplo di \left(x-1\right)^{2},\left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}+2x+1 per x^{3}-1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x^{2}-2x+1 per x^{3}+1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Per trovare l'opposto di x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1, trova l'opposto di ogni termine.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{5}-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combina x^{5} e -x^{5} per ottenere 0.

$$-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combina -x^{2} e -x^{2} per ottenere -2x^{2}.

$$-2x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combina 2x^{4} e 2x^{4} per ottenere 4x^{4}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2x+x^{3}-1+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combina -2x e 2x per ottenere 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}+x^{3}-1-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combina x^{3} e -x^{3} per ottenere 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}-1-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Sottrai 1 da -1 per ottenere -2.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6 per x^{2}-2x+1.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=\left(6x^{2}-12x+6\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x^{2}-12x+6 per x^{2}+2x+1 e combinare i termini simili.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6x^{4}-12x^{2}+6$$

Sottrai 6x^{4} da entrambi i lati.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2-6x^{4}=-12x^{2}+6$$

Combina 4x^{4} e -6x^{4} per ottenere -2x^{4}.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2=-12x^{2}+6$$

Aggiungi 12x^{2} a entrambi i lati.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2+12x^{2}=6$$

Combina -2x^{2} e 12x^{2} per ottenere 10x^{2}.

$$10x^{2}-2x^{4}-2=6$$

Sottrai 6 da entrambi i lati.

$$10x^{2}-2x^{4}-2-6=0$$

Sottrai 6 da -2 per ottenere -8.

$$10x^{2}-2x^{4}-8=0$$

Sostituisci t per x^{2}.

$$-2t^{2}+10t-8=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci -2 con a, 10 con b e -8 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{-2\times 2}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{-10±6}{-4}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{-10±6}{-4} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=1 t=4$$

Poiché x=t^{2}, le soluzioni vengono ottenute valutando x=±\sqrt{t} per ogni t.

$$x=1 x=-1 x=2 x=-2$$

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 1,-1.

$$x=-2 x=2$$