Risolvi x^2+5/25-x^2=3/x+5+x/x-5

$$\frac { x ^ { 2 } + 5 } { 25 - x ^ { 2 } } = \frac { 3 } { x + 5 } + \frac { x } { x - 5 }$$

Trova x

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -5,5 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-5\right)\left(x+5\right), il minimo comune multiplo di 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Per trovare l'opposto di x^{2}+5, trova l'opposto di ogni termine.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-5 per 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+5 per x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Combina 3x e 5x per ottenere 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Sottrai 8x da entrambi i lati.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Sottrai -15 da entrambi i lati.

$$-x^{2}-5-8x-\left(-15\right)=x^{2}$$

L'opposto di -15 è 15.

$$-x^{2}-5-8x+15=x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$-x^{2}-5-8x+15-x^{2}=0$$

E -5 e 15 per ottenere 10.

$$-x^{2}+10-8x-x^{2}=0$$

Combina -x^{2} e -x^{2} per ottenere -2x^{2}.

$$-2x^{2}+10-8x=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$-x^{2}+5-4x=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}-4x+5=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=-5=-5$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=1 b=-5$$

Riscrivi -x^{2}-4x+5 come \left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Fattori in x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+1\right)\left(x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+1=0 e x+5=0.

$$x=1 x=-5$$

La variabile x non può essere uguale a -5.

$$x=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -5,5 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-5\right)\left(x+5\right), il minimo comune multiplo di 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Per trovare l'opposto di x^{2}+5, trova l'opposto di ogni termine.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-5 per 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+5 per x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Combina 3x e 5x per ottenere 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Sottrai 8x da entrambi i lati.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Sottrai -15 da entrambi i lati.

$$-x^{2}-5-8x-\left(-15\right)=x^{2}$$

L'opposto di -15 è 15.

$$-x^{2}-5-8x+15=x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$-x^{2}-5-8x+15-x^{2}=0$$

E -5 e 15 per ottenere 10.

$$-x^{2}+10-8x-x^{2}=0$$

Combina -x^{2} e -x^{2} per ottenere -2x^{2}.

$$-2x^{2}+10-8x=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-2x^{2}-8x+10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -2 a a, -8 a b e 10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Eleva -8 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-2\right)\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica -4 per -2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+8\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica 8 per 10.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\left(-2\right)}$$

Aggiungi 64 a 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\left(-2\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\left(-2\right)}$$

L'opposto di -8 è 8.

$$x=\frac{8±12}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica 2 per -2.

$$x=\frac{8±12}{-4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±12}{-4} quando ± è più. Aggiungi 8 a 12.

$$x=\frac{20}{-4}$$

Dividi 20 per -4.

$$x=-5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±12}{-4} quando ± è meno. Sottrai 12 da 8.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Dividi -4 per -4.

$$x=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-5 x=1$$

La variabile x non può essere uguale a -5.

$$x=1$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -5,5 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-5\right)\left(x+5\right), il minimo comune multiplo di 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Per trovare l'opposto di x^{2}+5, trova l'opposto di ogni termine.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-5 per 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+5 per x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Combina 3x e 5x per ottenere 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Sottrai 8x da entrambi i lati.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$-x^{2}-5-8x-x^{2}=-15$$

Combina -x^{2} e -x^{2} per ottenere -2x^{2}.

$$-2x^{2}-5-8x=-15$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati.

$$-2x^{2}-8x=-15+5$$

E -15 e 5 per ottenere -10.

$$-2x^{2}-8x=-10$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$\frac{-2x^{2}-8x}{-2}=-\frac{10}{-2}$$

La divisione per -2 annulla la moltiplicazione per -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-2}\right)x=-\frac{10}{-2}$$

Dividi -8 per -2.

$$x^{2}+4x=-\frac{10}{-2}$$

Dividi -10 per -2.

$$x^{2}+4x=5$$

Dividi 4, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 2. Quindi aggiungi il quadrato di 2 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+4x+2^{2}=5+2^{2}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x^{2}+4x+4=5+4$$

Aggiungi 5 a 4.

$$x^{2}+4x+4=9$$

Fattore x^{2}+4x+4. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=9$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Semplifica.

$$x+2=3 x+2=-3$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-5$$

La variabile x non può essere uguale a -5.

$$x=1$$