Risolvi x+1/x+x/x+1=5/2

$$\frac { x + 1 } { x } + \frac { x } { x + 1 } = \frac { 5 } { 2 }$$

Trova x

$$x=1$$

$$x=-2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x+2 per x+1 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Combina 2x^{2} e 2x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5x per x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Sottrai 5x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Combina 4x^{2} e -5x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Sottrai 5x da entrambi i lati.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Combina 4x e -5x per ottenere -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=1 b=-2$$

Riscrivi -x^{2}-x+2 come \left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Fattori in x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+1\right)\left(x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+1=0 e x+2=0.

$$x=1 x=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x+2 per x+1 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Combina 2x^{2} e 2x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5x per x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Sottrai 5x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Combina 4x^{2} e -5x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Sottrai 5x da entrambi i lati.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Combina 4x e -5x per ottenere -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, -1 a b e 2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 1 a 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-1\right)}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{1±3}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±3}{-2} quando ± è più. Aggiungi 1 a 3.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Dividi 4 per -2.

$$x=-2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±3}{-2} quando ± è meno. Sottrai 3 da 1.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Dividi -2 per -2.

$$x=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-2 x=1$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x+2 per x+1 e combinare i termini simili.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Combina 2x^{2} e 2x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5x per x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Sottrai 5x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Combina 4x^{2} e -5x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Sottrai 5x da entrambi i lati.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Combina 4x e -5x per ottenere -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Sottrai 2 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$-x^{2}-x=-2$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{2}{-1}$$

Dividi -1 per -1.

$$x^{2}+x=-\frac{2}{-1}$$

Dividi -2 per -1.

$$x^{2}+x=2$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 2 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Fattore x^{2}+x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-2$$