Risolvi 5/x^2-4+x/x-2=4

$$\frac { 5 } { x ^ { 2 } - 4 } + \frac { x } { x - 2 } = 4$$

Trova x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4x-8 per x+2 e combinare i termini simili.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Combina x^{2} e -4x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Aggiungi 16 a entrambi i lati.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

E 5 e 16 per ottenere 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -3x^{2}+ax+bx+21. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=-3\times 21=-63$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 2 come somma.

$$a=9 b=-7$$

Riscrivi -3x^{2}+2x+21 come \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$3x\left(-x+3\right)+7\left(-x+3\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+3=0 e 3x+7=0.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4x-8 per x+2 e combinare i termini simili.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Combina x^{2} e -4x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Aggiungi 16 a entrambi i lati.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

E 5 e 16 per ottenere 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -3 a a, 2 a b e 21 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica -4 per -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 12 per 21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\left(-3\right)}$$

Aggiungi 4 a 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 2 per -3.

$$x=\frac{-2±16}{-6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±16}{-6} quando ± è più. Aggiungi -2 a 16.

$$x=\frac{14}{-6}$$

Riduci la frazione \frac{14}{-6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±16}{-6} quando ± è meno. Sottrai 16 da -2.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Dividi -18 per -6.

$$x=3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{7}{3} x=3$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x-2\right)\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4x-8 per x+2 e combinare i termini simili.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Combina x^{2} e -4x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Sottrai 5 da entrambi i lati.

$$-3x^{2}+2x=-16-5$$

Sottrai 5 da -16 per ottenere -21.

$$-3x^{2}+2x=-21$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{21}{-3}$$

La divisione per -3 annulla la moltiplicazione per -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{21}{-3}$$

Dividi 2 per -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{21}{-3}$$

Dividi -21 per -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=7$$

Dividi -\frac{2}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=7+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=7+\frac{1}{9}$$

Aggiungi 7 a \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{64}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{8}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$$

Aggiungi \frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$