Risolvi frac{5+2sqrt{3}}{7+4sqrt{3}}=x+sqrt{3}y

$$\frac { 5 + 2 \sqrt { 3 } } { 7 + 4 \sqrt { 3 } } = x + \sqrt { 3 } y$$

Trova y

$$y=-\frac{\sqrt{3}\left(x+6\sqrt{3}-11\right)}{3}$$

Procedura per la soluzione di equazioni lineari

Razionalizza il denominatore di \frac{5+2\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per 7-4\sqrt{3}.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{\left(7+4\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}=x+\sqrt{3}y$$

Considera \left(7+4\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{7^{2}-\left(4\sqrt{3}\right)^{2}}=x+\sqrt{3}y$$

Calcola 7 alla potenza di 2 e ottieni 49.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-\left(4\sqrt{3}\right)^{2}}=x+\sqrt{3}y$$

Espandi \left(4\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-4^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=x+\sqrt{3}y$$

Calcola 4 alla potenza di 2 e ottieni 16.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-16\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=x+\sqrt{3}y$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-16\times 3}=x+\sqrt{3}y$$

Moltiplica 16 e 3 per ottenere 48.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-48}=x+\sqrt{3}y$$

Sottrai 48 da 49 per ottenere 1.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{1}=x+\sqrt{3}y$$

Un numero diviso per 1 resta uguale a se stesso.

$$\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)=x+\sqrt{3}y$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5+2\sqrt{3} per 7-4\sqrt{3} e combinare i termini simili.

$$35-6\sqrt{3}-8\left(\sqrt{3}\right)^{2}=x+\sqrt{3}y$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$35-6\sqrt{3}-8\times 3=x+\sqrt{3}y$$

Moltiplica -8 e 3 per ottenere -24.

$$35-6\sqrt{3}-24=x+\sqrt{3}y$$

Sottrai 24 da 35 per ottenere 11.

$$11-6\sqrt{3}=x+\sqrt{3}y$$

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$x+\sqrt{3}y=11-6\sqrt{3}$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$\sqrt{3}y=11-6\sqrt{3}-x$$

L'equazione è in formato standard.

$$\sqrt{3}y=-x+11-6\sqrt{3}$$

Dividi entrambi i lati per \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}y}{\sqrt{3}}=\frac{-x+11-6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

La divisione per \sqrt{3} annulla la moltiplicazione per \sqrt{3}.

$$y=\frac{-x+11-6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Dividi -6\sqrt{3}-x+11 per \sqrt{3}.

$$y=\frac{\sqrt{3}\left(-x+11-6\sqrt{3}\right)}{3}$$

Trova x

$$x=-\sqrt{3}y+11-6\sqrt{3}$$