Risolvi 4/x-4/x+2=1

$$\frac { 4 } { x } - \frac { 4 } { x + 2 } = 1$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 4-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 4.

$$4x+8-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+2.

$$4x+8-x\times 4=x^{2}+2x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}=2x$$

Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}-2x=0$$

Combina 4x e -2x per ottenere 2x.

$$2x+8-x\times 4-x^{2}=0$$

Moltiplica -1 e 4 per ottenere -4.

$$2x+8-4x-x^{2}=0$$

Combina 2x e -4x per ottenere -2x.

$$-2x+8-x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}-2x+8=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+8. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-2 ab=-8=-8$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -8.

$$1,-8 2,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

La soluzione è la coppia che restituisce -2 come somma.

$$a=2 b=-4$$

Riscrivi -x^{2}-2x+8 come \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-4x+8\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-4x+8\right)$$

Fattori in x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(-x+2\right)+4\left(-x+2\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+2=0 e x+4=0.

$$x=2 x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 4-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 4.

$$4x+8-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+2.

$$4x+8-x\times 4=x^{2}+2x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}=2x$$

Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}-2x=0$$

Combina 4x e -2x per ottenere 2x.

$$2x+8-x\times 4-x^{2}=0$$

Moltiplica -1 e 4 per ottenere -4.

$$2x+8-4x-x^{2}=0$$

Combina 2x e -4x per ottenere -2x.

$$-2x+8-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}-2x+8=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, -2 a b e 8 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 8}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+32}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 4 a 32.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6}{2\left(-1\right)}$$

L'opposto di -2 è 2.

$$x=\frac{2±6}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{2±6}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±6}{-2} quando ± è più. Aggiungi 2 a 6.

$$x=\frac{8}{-2}$$

Dividi 8 per -2.

$$x=-4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±6}{-2} quando ± è meno. Sottrai 6 da 2.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Dividi -4 per -2.

$$x=2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-4 x=2$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -2,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+2\right), il minimo comune multiplo di x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 4-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per 4.

$$4x+8-x\times 4=x\left(x+2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+2.

$$4x+8-x\times 4=x^{2}+2x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}=2x$$

Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$4x+8-x\times 4-x^{2}-2x=0$$

Combina 4x e -2x per ottenere 2x.

$$2x+8-x\times 4-x^{2}=0$$

Sottrai 8 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$2x-x\times 4-x^{2}=-8$$

Moltiplica -1 e 4 per ottenere -4.

$$2x-4x-x^{2}=-8$$

Combina 2x e -4x per ottenere -2x.

$$-2x-x^{2}=-8$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x=-8$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{8}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{8}{-1}$$

Dividi -2 per -1.

$$x^{2}+2x=-\frac{8}{-1}$$

Dividi -8 per -1.

$$x^{2}+2x=8$$

Dividi 2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 1. Quindi aggiungi il quadrato di 1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+2x+1^{2}=8+1^{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x^{2}+2x+1=8+1$$

Aggiungi 8 a 1.

$$x^{2}+2x+1=9$$

Fattore x^{2}+2x+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=9$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Semplifica.

$$x+1=3 x+1=-3$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=-4$$