Risolvi frac{21sqrt{15}}{512+5sqrt{3}}

$$\frac { 21 \sqrt { 15 } } { 512 + 5 \sqrt { 3 } }$$

Calcola

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}\approx 0,156210599$$

Procedura della soluzione

Razionalizza il denominatore di \frac{21\sqrt{15}}{512+5\sqrt{3}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per 512-5\sqrt{3}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{\left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right)}$$

Considera \left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{512^{2}-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calcola 512 alla potenza di 2 e ottieni 262144.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Espandi \left(5\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calcola 5 alla potenza di 2 e ottieni 25.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\times 3}$$

Moltiplica 25 e 3 per ottenere 75.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-75}$$

Sottrai 75 da 262144 per ottenere 262069.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262069}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 21\sqrt{15} per 512-5\sqrt{3}.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{15}}{262069}$$

Fattorizzare 15=3\times 5. Riscrivi la radice quadrata del prodotto \sqrt{3\times 5} come prodotto di radici quadrate \sqrt{3}\sqrt{5}.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{5}}{262069}$$

Moltiplica \sqrt{3} e \sqrt{3} per ottenere 3.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\times 3\sqrt{5}}{262069}$$

Moltiplica -105 e 3 per ottenere -315.

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}$$