Risolvi frac{2(sqrt{3}+sqrt{2})}{4-sqrt{6}}*frac{9-sqrt{6}}{4-sqrt{6}}

$$\frac { 2 ( \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) } { 4 - \sqrt { 6 } } \cdot \frac { 9 - \sqrt { 6 } } { 4 - \sqrt { 6 } }$$

Calcola

$$5\sqrt{3}+6\sqrt{2}\approx 17,145535412$$

Procedura della soluzione

Razionalizza il denominatore di \frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{4-\sqrt{6}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per 4+\sqrt{6}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{\left(4-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}\times \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$$

Considera \left(4-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{6}\right)^{2}}\times \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$$

Eleva 4 al quadrato. Eleva \sqrt{6} al quadrato.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{16-6}\times \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$$

Sottrai 6 da 16 per ottenere 10.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$$

Razionalizza il denominatore di \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per 4+\sqrt{6}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{\left(4-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}$$

Considera \left(4-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{6}\right)^{2}}$$

Eleva 4 al quadrato. Eleva \sqrt{6} al quadrato.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{16-6}$$

Sottrai 6 da 16 per ottenere 10.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}$$

Moltiplica \frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10} per \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10\times 10}$$

Cancella 2 nel numeratore e nel denominatore.

$$\frac{\left(\sqrt{6}+4\right)\left(\sqrt{6}+4\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

Moltiplica \sqrt{6}+4 e \sqrt{6}+4 per ottenere \left(\sqrt{6}+4\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{6}+4\right)^{2}\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(\sqrt{6}+4\right)^{2}.

$$\frac{\left(\left(\sqrt{6}\right)^{2}+8\sqrt{6}+16\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

Il quadrato di \sqrt{6} è 6.

$$\frac{\left(6+8\sqrt{6}+16\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

E 6 e 16 per ottenere 22.

$$\frac{\left(22+8\sqrt{6}\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

Moltiplica 5 e 10 per ottenere 50.

$$\frac{\left(22+8\sqrt{6}\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Applica la proprietà distributiva moltiplicando ogni termine di 22+8\sqrt{6} per ogni termine di -\sqrt{6}+9.

$$\frac{\left(-22\sqrt{6}+198-8\left(\sqrt{6}\right)^{2}+72\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Il quadrato di \sqrt{6} è 6.

$$\frac{\left(-22\sqrt{6}+198-8\times 6+72\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Moltiplica -8 e 6 per ottenere -48.

$$\frac{\left(-22\sqrt{6}+198-48+72\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Sottrai 48 da 198 per ottenere 150.

$$\frac{\left(-22\sqrt{6}+150+72\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Combina -22\sqrt{6} e 72\sqrt{6} per ottenere 50\sqrt{6}.

$$\frac{\left(50\sqrt{6}+150\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Applica la proprietà distributiva moltiplicando ogni termine di 50\sqrt{6}+150 per ogni termine di \sqrt{2}+\sqrt{3}.

$$\frac{50\sqrt{6}\sqrt{2}+50\sqrt{6}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Fattorizzare 6=2\times 3. Riscrivi la radice quadrata del prodotto \sqrt{2\times 3} come prodotto di radici quadrate \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$\frac{50\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+50\sqrt{6}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Moltiplica \sqrt{2} e \sqrt{2} per ottenere 2.

$$\frac{50\times 2\sqrt{3}+50\sqrt{6}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Moltiplica 50 e 2 per ottenere 100.

$$\frac{100\sqrt{3}+50\sqrt{6}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Fattorizzare 6=3\times 2. Riscrivi la radice quadrata del prodotto \sqrt{3\times 2} come prodotto di radici quadrate \sqrt{3}\sqrt{2}.

$$\frac{100\sqrt{3}+50\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Moltiplica \sqrt{3} e \sqrt{3} per ottenere 3.

$$\frac{100\sqrt{3}+50\times 3\sqrt{2}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Moltiplica 50 e 3 per ottenere 150.

$$\frac{100\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Combina 150\sqrt{2} e 150\sqrt{2} per ottenere 300\sqrt{2}.

$$\frac{100\sqrt{3}+300\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Combina 100\sqrt{3} e 150\sqrt{3} per ottenere 250\sqrt{3}.

$$\frac{250\sqrt{3}+300\sqrt{2}}{50}$$

Dividi ogni termine di 250\sqrt{3}+300\sqrt{2} per 50 per ottenere 5\sqrt{3}+6\sqrt{2}.

$$5\sqrt{3}+6\sqrt{2}$$

Scomponi in fattori

$$5 \sqrt{3} + 6 \sqrt{2} = 17,145535412$$