Risolvi 16k^2+24k^4/(2k^2+1)^2=20/9

$$\frac { 16 k ^ { 2 } + 24 k ^ { 4 } } { ( 2 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 20 } { 9 }$$

Trova k

$$k=-\frac{\sqrt{102\sqrt{26}-272}}{34}\approx -0,463270298$$

$$k=\frac{\sqrt{102\sqrt{26}-272}}{34}\approx 0,463270298$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 9\left(2k^{2}+1\right)^{2}, il minimo comune multiplo di \left(2k^{2}+1\right)^{2},9.

$$9\left(16k^{2}+24k^{4}\right)=20\left(2k^{2}+1\right)^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 9 per 16k^{2}+24k^{4}.

$$144k^{2}+216k^{4}=20\left(2k^{2}+1\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2k^{2}+1\right)^{2}.

$$144k^{2}+216k^{4}=20\left(4\left(k^{2}\right)^{2}+4k^{2}+1\right)$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$144k^{2}+216k^{4}=20\left(4k^{4}+4k^{2}+1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 20 per 4k^{4}+4k^{2}+1.

$$144k^{2}+216k^{4}=80k^{4}+80k^{2}+20$$

Sottrai 80k^{4} da entrambi i lati.

$$144k^{2}+216k^{4}-80k^{4}=80k^{2}+20$$

Combina 216k^{4} e -80k^{4} per ottenere 136k^{4}.

$$144k^{2}+136k^{4}=80k^{2}+20$$

Sottrai 80k^{2} da entrambi i lati.

$$144k^{2}+136k^{4}-80k^{2}=20$$

Combina 144k^{2} e -80k^{2} per ottenere 64k^{2}.

$$64k^{2}+136k^{4}=20$$

Sottrai 20 da entrambi i lati.

$$64k^{2}+136k^{4}-20=0$$

Sostituisci t per k^{2}.

$$136t^{2}+64t-20=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 136 con a, 64 con b e -20 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\times 136\left(-20\right)}}{2\times 136}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{-64±24\sqrt{26}}{272}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{-64±24\sqrt{26}}{272} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=\frac{3\sqrt{26}}{34}-\frac{4}{17} t=-\frac{3\sqrt{26}}{34}-\frac{4}{17}$$

Poiché k=t^{2}, le soluzioni vengono ottenute valutando k=±\sqrt{t} per t positivo.

$$k=\frac{\sqrt{\frac{6\sqrt{26}-16}{17}}}{2} k=-\frac{\sqrt{\frac{6\sqrt{26}-16}{17}}}{2}$$