Risolvi 1/n-1/n+1

$$\frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }$$

Calcola

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Soluzione con pochi passaggi

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di n e n+1 è n\left(n+1\right). Moltiplica \frac{1}{n} per \frac{n+1}{n+1}. Moltiplica \frac{1}{n+1} per \frac{n}{n}.

$$\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}$$

Poiché \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} e \frac{n}{n\left(n+1\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}$$

Unisci i termini come in n+1-n.

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Espandi n\left(n+1\right).

$$\frac{1}{n^{2}+n}$$

Differenzia rispetto a n

$$-\frac{2n+1}{\left(n\left(n+1\right)\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola di concatenazione

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di n e n+1 è n\left(n+1\right). Moltiplica \frac{1}{n} per \frac{n+1}{n+1}. Moltiplica \frac{1}{n+1} per \frac{n}{n}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)})$$

Poiché \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} e \frac{n}{n\left(n+1\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)})$$

Unisci i termini come in n+1-n.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n\left(n+1\right)})$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare n per n+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n^{2}+n})$$

Se F è la composizione delle due funzioni differenziabili f\left(u\right) e u=g\left(x\right), ossia, se F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), quindi la derivata di F è uguale alla derivata di f rispetto a u moltiplicata per la derivata di g rispetto a x, ossia, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(n^{2}+n^{1})$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(2n^{2-1}+n^{1-1}\right)$$

Semplifica.

$$\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(-2n^{1}-n^{0}\right)$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-n^{0}\right)$$

Per qualsiasi termine t tranne 0, t^{0}=1.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-1\right)$$