Risolvi 1/3x^2+6x=9

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 6 x = 9$$

Trova x

$$x=6\sqrt{3}-9\approx 1,392304845$$

$$x=-6\sqrt{3}-9\approx -19,392304845$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=9-9$$

Sottraendo 9 da se stesso rimane 0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci \frac{1}{3} a a, 6 a b e -9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Moltiplica -4 per \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-\frac{4}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Moltiplica -\frac{4}{3} per -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Aggiungi 36 a 12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{48}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Calcola la radice quadrata di 48.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Moltiplica 2 per \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} quando ± è più. Aggiungi -6 a 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Dividi -6+4\sqrt{3} per\frac{2}{3} moltiplicando -6+4\sqrt{3} per il reciproco di \frac{2}{3}.

$$x=6\sqrt{3}-9$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} quando ± è meno. Sottrai 4\sqrt{3} da -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Dividi -6-4\sqrt{3} per\frac{2}{3} moltiplicando -6-4\sqrt{3} per il reciproco di \frac{2}{3}.

$$x=-6\sqrt{3}-9$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Moltiplica entrambi i lati per 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+6x}{\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

La divisione per \frac{1}{3} annulla la moltiplicazione per \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{6}{\frac{1}{3}}x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Dividi 6 per\frac{1}{3} moltiplicando 6 per il reciproco di \frac{1}{3}.

$$x^{2}+18x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Dividi 9 per\frac{1}{3} moltiplicando 9 per il reciproco di \frac{1}{3}.

$$x^{2}+18x=27$$

Dividi 18, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 9. Quindi aggiungi il quadrato di 9 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+18x+9^{2}=27+9^{2}$$

Eleva 9 al quadrato.

$$x^{2}+18x+81=27+81$$

Aggiungi 27 a 81.

$$x^{2}+18x+81=108$$

Fattore x^{2}+18x+81. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}=108$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{108}$$

Semplifica.

$$x+9=6\sqrt{3} x+9=-6\sqrt{3}$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$