Risolvi frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

Trova b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

Procedura per la soluzione di equazioni lineari

Razionalizza il denominatore di \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} moltiplicando il numeratore e il denominatore per \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Considera \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Eleva \sqrt{3} al quadrato. Eleva 1 al quadrato.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

Sottrai 1 da 3 per ottenere 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Moltiplica \sqrt{3}-1 e \sqrt{3}-1 per ottenere \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

E 3 e 1 per ottenere 4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Dividi ogni termine di 4-2\sqrt{3} per 2 per ottenere 2-\sqrt{3}.

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Sottrai a da entrambi i lati.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

L'equazione è in formato standard.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Dividi entrambi i lati per \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

La divisione per \sqrt{3} annulla la moltiplicazione per \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Dividi -\sqrt{3}-a+2 per \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Trova a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$