Risolvi cosz

$$\cos z$$

Differenzia rispetto a z

$$-\sin(z)$$

Procedura usando la definizione di una derivata

Per una funzione f\left(x\right), la derivata è il limite di \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} mentre h va a 0, se tale limite esiste.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(\cos(z))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(z+h)-\cos(z)}{h}\right)$$

Usa la formula della somma per il coseno.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(z+h)-\cos(z)}{h}$$

Scomponi \cos(z) in fattori.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(z)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(z)\sin(h)}{h}$$

Riscrivi il limite.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(z)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(z)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Usa il fatto che z è una costante per calcolare i limiti mentre h va a 0.

$$\cos(z)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(z)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Il limite \lim_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z} è 1.

$$\cos(z)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(z)$$

Per calcolare il limite \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, moltiplica prima il numeratore e il denominatore per \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Moltiplica \cos(h)+1 per \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Usa l'identità pitagorica.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Riscrivi il limite.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Il limite \lim_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z} è 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Usa il fatto che \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} è continuo in 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Sostituisci il valore 0 nell'espressione \cos(z)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(z).

$$-\sin(z)$$

Calcola

$$\cos(z)$$