Risolvi {[(1/2a-2/3b)(1/2a+2/3b)^{3}-(frac{1}{4}a^{2}-frac{4}{9}b^{2})(frac{4}{9}b^2+frac{1}{4}a^2)]-frac{1}{3}ab(frac{1}{2}a^2+frac{1}{9}b^2)}

$$\{ [ ( \frac { 1 } { 2 } a - \frac { 2 } { 3 } b ) ( \frac { 1 } { 2 } a + \frac { 2 } { 3 } b ) ^ { 3 } - ( \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } - \frac { 4 } { 9 } b ^ { 2 } ) ( \frac { 4 } { 9 } b ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } ) ] - \frac { 1 } { 3 } a b ( \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } + \frac { 1 } { 9 } b ^ { 2 } ) \}$$

Calcola

$$-\frac{ab^{3}}{3}$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(p+q\right)^{3}=p^{3}+3p^{2}q+3pq^{2}+q^{3} per espandere \left(\frac{1}{2}a+\frac{2}{3}b\right)^{3}.

$$\left(\frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b\right)\left(\frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{2}a^{2}b+\frac{2}{3}ab^{2}+\frac{8}{27}b^{3}\right)-\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare \frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b per \frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{2}a^{2}b+\frac{2}{3}ab^{2}+\frac{8}{27}b^{3} e combinare i termini simili.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Considera \left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}a^{2}\right)^{2}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Espandi \left(\frac{1}{4}a^{2}\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\left(a^{2}\right)^{2}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}a^{4}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Calcola \frac{1}{4} alla potenza di 2 e ottieni \frac{1}{16}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Espandi \left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}\right)^{2}\left(b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}\right)^{2}b^{4}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Calcola \frac{4}{9} alla potenza di 2 e ottieni \frac{16}{81}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\frac{16}{81}b^{4}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Per trovare l'opposto di \frac{1}{16}a^{4}-\frac{16}{81}b^{4}, trova l'opposto di ogni termine.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{16}a^{4}+\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Combina \frac{1}{16}a^{4} e -\frac{1}{16}a^{4} per ottenere 0.

$$\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}+\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Combina -\frac{16}{81}b^{4} e \frac{16}{81}b^{4} per ottenere 0.

$$\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -\frac{1}{3}ab per \frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}.

$$\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{1}{27}ab^{3}$$

Combina \frac{1}{6}a^{3}b e -\frac{1}{6}a^{3}b per ottenere 0.

$$-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{27}ab^{3}$$

Combina -\frac{8}{27}ab^{3} e -\frac{1}{27}ab^{3} per ottenere -\frac{1}{3}ab^{3}.

$$-\frac{1}{3}ab^{3}$$

Espandi

$$-\frac{ab^{3}}{3}$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(p+q\right)^{3}=p^{3}+3p^{2}q+3pq^{2}+q^{3} per espandere \left(\frac{1}{2}a+\frac{2}{3}b\right)^{3}.

$$\left(\frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b\right)\left(\frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{2}a^{2}b+\frac{2}{3}ab^{2}+\frac{8}{27}b^{3}\right)-\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare \frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b per \frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{2}a^{2}b+\frac{2}{3}ab^{2}+\frac{8}{27}b^{3} e combinare i termini simili.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Considera \left(\frac{1}{4}a^{2}-\frac{4}{9}b^{2}\right)\left(\frac{4}{9}b^{2}+\frac{1}{4}a^{2}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}a^{2}\right)^{2}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Espandi \left(\frac{1}{4}a^{2}\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\left(a^{2}\right)^{2}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}a^{4}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Calcola \frac{1}{4} alla potenza di 2 e ottieni \frac{1}{16}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Espandi \left(\frac{4}{9}b^{2}\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}\right)^{2}\left(b^{2}\right)^{2}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\left(\frac{4}{9}\right)^{2}b^{4}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Calcola \frac{4}{9} alla potenza di 2 e ottieni \frac{16}{81}.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\left(\frac{1}{16}a^{4}-\frac{16}{81}b^{4}\right)-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Per trovare l'opposto di \frac{1}{16}a^{4}-\frac{16}{81}b^{4}, trova l'opposto di ogni termine.

$$\frac{1}{16}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{16}a^{4}+\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Combina \frac{1}{16}a^{4} e -\frac{1}{16}a^{4} per ottenere 0.

$$\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{16}{81}b^{4}+\frac{16}{81}b^{4}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Combina -\frac{16}{81}b^{4} e \frac{16}{81}b^{4} per ottenere 0.

$$\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{3}ab\left(\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -\frac{1}{3}ab per \frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}.

$$\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{6}a^{3}b-\frac{1}{27}ab^{3}$$

Combina \frac{1}{6}a^{3}b e -\frac{1}{6}a^{3}b per ottenere 0.

$$-\frac{8}{27}ab^{3}-\frac{1}{27}ab^{3}$$

Combina -\frac{8}{27}ab^{3} e -\frac{1}{27}ab^{3} per ottenere -\frac{1}{3}ab^{3}.

$$-\frac{1}{3}ab^{3}$$