Leysa 81t^2+180t-32=0

$$81 t ^ { 2 } + 180 t - 32 = 0$$

Leystu fyrir t

$$t=\frac{2\sqrt{33}-10}{9}\approx 0.165458366$$

$$t=\frac{-2\sqrt{33}-10}{9}\approx -2.387680588$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$81t^{2}+180t-32=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 81 inn fyrir a, 180 inn fyrir b og -32 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\left(-32\right)}}{2\times 81}$$

Hefðu 180 í annað veldi.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\left(-32\right)}}{2\times 81}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 81.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400-324\left(-32\right)}}{2\times 81}$$

Margfaldaðu -324 sinnum -32.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400+10368}}{2\times 81}$$

Leggðu 32400 saman við 10368.

$$t=\frac{-180±\sqrt{42768}}{2\times 81}$$

Finndu kvaðratrót 42768.

$$t=\frac{-180±36\sqrt{33}}{2\times 81}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 81.

$$t=\frac{-180±36\sqrt{33}}{162}$$

Leystu nú jöfnuna t=\frac{-180±36\sqrt{33}}{162} þegar ± er plús. Leggðu -180 saman við 36\sqrt{33}.

$$t=\frac{36\sqrt{33}-180}{162}$$

Deildu -180+36\sqrt{33} með 162.

$$t=\frac{2\sqrt{33}-10}{9}$$

Leystu nú jöfnuna t=\frac{-180±36\sqrt{33}}{162} þegar ± er mínus. Dragðu 36\sqrt{33} frá -180.

$$t=\frac{-36\sqrt{33}-180}{162}$$

Deildu -180-36\sqrt{33} með 162.

$$t=\frac{-2\sqrt{33}-10}{9}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$t=\frac{2\sqrt{33}-10}{9} t=\frac{-2\sqrt{33}-10}{9}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$81t^{2}+180t-32=0$$

Leggðu 32 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$81t^{2}+180t-32-\left(-32\right)=-\left(-32\right)$$

Ef -32 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$81t^{2}+180t=-\left(-32\right)$$

Dragðu -32 frá 0.

$$81t^{2}+180t=32$$

Deildu báðum hliðum með 81.

$$\frac{81t^{2}+180t}{81}=\frac{32}{81}$$

Að deila með 81 afturkallar margföldun með 81.

$$t^{2}+\frac{180}{81}t=\frac{32}{81}$$

Minnka brotið \frac{180}{81} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 9.

$$t^{2}+\frac{20}{9}t=\frac{32}{81}$$

Deildu \frac{20}{9}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{10}{9}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{10}{9} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$t^{2}+\frac{20}{9}t+\left(\frac{10}{9}\right)^{2}=\frac{32}{81}+\left(\frac{10}{9}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{10}{9} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$t^{2}+\frac{20}{9}t+\frac{100}{81}=\frac{32+100}{81}$$

Leggðu \frac{32}{81} saman við \frac{100}{81} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$t^{2}+\frac{20}{9}t+\frac{100}{81}=\frac{44}{27}$$

Stuðull t^{2}+\frac{20}{9}t+\frac{100}{81}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{10}{9}\right)^{2}=\frac{44}{27}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(t+\frac{10}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{44}{27}}$$

Einfaldaðu.

$$t+\frac{10}{9}=\frac{2\sqrt{33}}{9} t+\frac{10}{9}=-\frac{2\sqrt{33}}{9}$$

Dragðu \frac{10}{9} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$t=\frac{2\sqrt{33}-10}{9} t=\frac{-2\sqrt{33}-10}{9}$$