Leysa 8x^2-12x-11=0

$$8 x ^ { 2 } - 12 x - 11 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 3}{4} \approx 2.141941091$$

$$x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}\approx -0.641941091$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$8x^{2}-12x-11=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 8 inn fyrir a, -12 inn fyrir b og -11 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Hefðu -12 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Margfaldaðu -32 sinnum -11.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+352}}{2\times 8}$$

Leggðu 144 saman við 352.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{496}}{2\times 8}$$

Finndu kvaðratrót 496.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{31}}{2\times 8}$$

Gagnstæð tala tölunnar -12 er 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{31}}{2\times 8}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 8.

$$x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16} þegar ± er plús. Leggðu 12 saman við 4\sqrt{31}.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+12}{16}$$

Deildu 12+4\sqrt{31} með 16.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16} þegar ± er mínus. Dragðu 4\sqrt{31} frá 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{31}}{16}$$

Deildu 12-4\sqrt{31} með 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-12x-11=0$$

Leggðu 11 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8x^{2}-12x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Ef -11 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$8x^{2}-12x=-\left(-11\right)$$

Dragðu -11 frá 0.

$$8x^{2}-12x=11$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{11}{8}$$

Að deila með 8 afturkallar margföldun með 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{11}{8}$$

Minnka brotið \frac{-12}{8} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 4.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{11}{8}$$

Deildu -\frac{3}{2}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{3}{4}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{3}{4} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{11}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{3}{4} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{11}{8}+\frac{9}{16}$$

Leggðu \frac{11}{8} saman við \frac{9}{16} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{31}{16}$$

Stuðull x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{31}{16}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{16}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}}{4}$$

Leggðu \frac{3}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$