Leysa 8n^2-106n-7500=0

$$8 n ^ { 2 } - 106 n - 7500 = 0$$

Leystu fyrir n

$$n = \frac{\sqrt{62809} + 53}{8} \approx 37.952154754$$

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}\approx -24.702154754$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 8 inn fyrir a, -106 inn fyrir b og -7500 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{\left(-106\right)^{2}-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Hefðu -106 í annað veldi.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 8.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-32\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

Margfaldaðu -32 sinnum -7500.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236+240000}}{2\times 8}$$

Leggðu 11236 saman við 240000.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{251236}}{2\times 8}$$

Finndu kvaðratrót 251236.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

Gagnstæð tala tölunnar -106 er 106.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 8.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}$$

Leystu nú jöfnuna n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16} þegar ± er plús. Leggðu 106 saman við 2\sqrt{62809}.

$$n=\frac{2\sqrt{62809}+106}{16}$$

Deildu 106+2\sqrt{62809} með 16.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8}$$

Leystu nú jöfnuna n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{62809} frá 106.

$$n=\frac{106-2\sqrt{62809}}{16}$$

Deildu 106-2\sqrt{62809} með 16.

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

Leggðu 7500 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8n^{2}-106n-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

Ef -7500 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$8n^{2}-106n=-\left(-7500\right)$$

Dragðu -7500 frá 0.

$$8n^{2}-106n=7500$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$\frac{8n^{2}-106n}{8}=\frac{7500}{8}$$

Að deila með 8 afturkallar margföldun með 8.

$$n^{2}+\left(-\frac{106}{8}\right)n=\frac{7500}{8}$$

Minnka brotið \frac{-106}{8} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{7500}{8}$$

Minnka brotið \frac{7500}{8} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 4.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{1875}{2}$$

Deildu -\frac{53}{4}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{53}{8}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{53}{8} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{1875}{2}+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{53}{8} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{1875}{2}+\frac{2809}{64}$$

Leggðu \frac{1875}{2} saman við \frac{2809}{64} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{62809}{64}$$

Stuðull n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{62809}{64}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{62809}{64}}$$

Einfaldaðu.

$$n-\frac{53}{8}=\frac{\sqrt{62809}}{8} n-\frac{53}{8}=-\frac{\sqrt{62809}}{8}$$

Leggðu \frac{53}{8} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$