Leysa 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Leystu fyrir x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 6x^{2}+ax+bx-7. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er plús er plústalan hærri en mínustalan. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Lausnin er parið sem gefur summuna 19.

$$a=-2 b=21$$

Endurskrifa 6x^{2}+19x-7 sem \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Taktu 2x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 7 í öðrum hópi.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 3x-1 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Leystu 3x-1=0 og 2x+7=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 6 inn fyrir a, 19 inn fyrir b og -7 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Hefðu 19 í annað veldi.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Margfaldaðu -24 sinnum -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Leggðu 361 saman við 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Finndu kvaðratrót 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-19±23}{12} þegar ± er plús. Leggðu -19 saman við 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Minnka brotið \frac{4}{12} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-19±23}{12} þegar ± er mínus. Dragðu 23 frá -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Minnka brotið \frac{-42}{12} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Leggðu 7 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Ef -7 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Dragðu -7 frá 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Að deila með 6 afturkallar margföldun með 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Deildu \frac{19}{6}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{19}{12}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{19}{12} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{19}{12} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Leggðu \frac{7}{6} saman við \frac{361}{144} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Stuðull x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Dragðu \frac{19}{12} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$