Leysa 4y^2-7y+1=0

$$4 y ^ { 2 } - 7 y + 1 = 0$$

Leystu fyrir y

$$y = \frac{\sqrt{33} + 7}{8} \approx 1.593070331$$

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}\approx 0.156929669$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 4 inn fyrir a, -7 inn fyrir b og 1 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Hefðu -7 í annað veldi.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 4.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16}}{2\times 4}$$

Leggðu 49 saman við -16.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Gagnstæð tala tölunnar -7 er 7.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} þegar ± er plús. Leggðu 7 saman við \sqrt{33}.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} þegar ± er mínus. Dragðu \sqrt{33} frá 7.

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4y^{2}-7y+1-1=-1$$

Ef 1 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$4y^{2}-7y=-1$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$\frac{4y^{2}-7y}{4}=-\frac{1}{4}$$

Að deila með 4 afturkallar margföldun með 4.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Deildu -\frac{7}{4}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{7}{8}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{7}{8} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{7}{8} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Leggðu -\frac{1}{4} saman við \frac{49}{64} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=\frac{33}{64}$$

Stuðull y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

Einfaldaðu.

$$y-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} y-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

Leggðu \frac{7}{8} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$