Leysa 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-5y=2$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=5y+2$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Settu \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Leggðu \frac{5y}{4} saman við 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{45}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{18}{5}$$

Skiptu \frac{18}{5} út fyrir y í x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu \frac{5}{4} sinnum \frac{18}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við \frac{9}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Til að gera 4x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Einfaldaðu.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Dragðu 4x+40y=164 frá 4x-5y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-5y-40y=2-164$$

Leggðu -5y saman við -40y.

$$-45y=2-164$$

Leggðu 2 saman við -164.

$$-45y=-162$$

Deildu báðum hliðum með -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Skiptu \frac{18}{5} út fyrir y í x+10y=41. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Margfaldaðu 10 sinnum \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Dragðu 36 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$